Kezdőlap


Feladat:	1489. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Szabó Edit
Füzet:	1978/november, 180 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Csúszó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/március: 1489. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban a csigák tömege és súrlódása elhanyagolható, a kötelek súlytalanok, ezért mind a négy kötélágban azonos nagyságú $F$ kötélerő hat. Legyen az egyes testek gyorsulásának nagysága rendre $a_{1}$ , $a_{2}$ , $a_{3}$ , ekkor a mozgásegyenletek:

\begin{matrix} M_{1} a_{1} & = F - μ M_{1} g, \\ M_{2} a_{2} & = M_{2} g - 2 F, \\ M_{3} a_{3} & = - M_{3} g - F . \end{matrix}

A kötél állandó hosszúsága miatt a gyorsulások közötti kapcsolatot a megtett utak közötti összefüggésből határozhatjuk meg, amiből

\begin{matrix} 2 a_{2} + a_{3} - a_{1} = 0 \end{matrix}

adódik. Az egyenletrendszer megoldása:

\begin{matrix} a_{1} & = g \frac{3 M_{2} M_{3} - μ (M_{2} + 4 M_{3}) M_{1}}{M_{1} M_{2} + M_{2} M_{3} + 4 M_{1} M_{3}}; \\ a_{2} & = g \frac{(M_{1} + M_{3}) M_{2} - 2 M_{1} M_{3} (1 + μ)}{M_{1} M_{2} + M_{2} M_{3} + 4 M_{1} M_{3}}; \\ a_{3} & = g \frac{M_{2} M_{3} - [(2 + μ) M_{2} - 4 M_{3}] M_{1}}{M_{1} M_{2} + M_{2} M_{3} + 4 M_{1} M_{3}}; \\ F & = g \frac{M_{1} M_{2} M_{3} (3 + μ)}{M_{1} M_{2} + M_{2} M_{3} + 4 M_{1} M_{3}} . \end{matrix}

A mozgásegyenletek felírásánál feltételeztük, hogy

a_{1} > 0

, ami csak akkor teljesül, ha

\begin{matrix} M_{1} < \frac{3 M_{2} M_{3}}{μ (M_{2} + 4 M_{3})} . \end{matrix}

Ha ez a feltétel nem teljesül, akkor

a_{1} = 0

, csak az

M_{2}

és

M_{3}

tömegű testek mozoghatnak. Gyorsulásaikat az egyenletrendszerből

a_{1} = 0

helyettesítéssel kapjuk, ahonnan

\begin{matrix} a'_{2} = g \frac{M_{2} - 2 M_{3}}{M_{2} + 4 M_{3}}; a_{3}' = - g \frac{2 (M_{2} + 2 M_{3})}{M_{2} + 4 M_{3}}; F' = g \frac{3 M_{2} M_{3}}{M_{2} + 4 M_{3}} \end{matrix}

adódik.
Ha az előbbi feltétel teljesülésén kívül még

M_{2} = 2 M_{3}

, akkor mindhárom test gyorsulása nulla, vagyis a rendszer egyensúlyban lehet.

Szabó Edit (Kazincbarcika, Ságvári E. Gimn., I. o. t.)