Feladat:	1484. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dóra Csaba ,  Janka Sándor ,  Lukács József ,  Mechler Ferenc
Füzet:	1978/november, 176 - 178. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Pontrendszerek mozgásegyenletei, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Torziós inga, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/február: 1484. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A kötél végére $M$ tömegű testet akasztva egyensúlyban a rugó $l_0$ hosszal nyúlik meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle l_0=Mg/D\mathrm{.}}\end{array}$ (1) A feladatban leírt kezdeti helyzet után létrejövő mozgásnál a test $x$ kitérését és a csiga $\phi$ szögelfordulását célszerű ettől a nyugalmi helyzettől mérni.     Az ábra alapján írjuk fel a mozgásegyenleteket: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle Mg-K_1=Ma\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \left(K_1-K_2\right)r=\Theta \beta \mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$ ahol a csiga tehetetlenségi nyomatéka $\begin{array}{c}{\displaystyle \Theta =\left(1/2\right)m{r}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (4) A rugóra vonatkozó erőtörvény szerint $\begin{array}{c}{\displaystyle K_2=D\left(l_0+x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (5) Mivel a kötél nyújthatatlan és a csigán nem csúszik meg, az $x$ elmozdulás és a $\phi$ szögelfordulás közti kényszerfeltétel: $\begin{array}{c}{\displaystyle r\phi =x\mathrm{,}}\end{array}$ (6) illetve a megfelelő gyorsulásokra: $\begin{array}{c}{\displaystyle r\beta =a\mathrm{.}}\end{array}$ (7) A mozgás leírásához célszerű az $\left(1\right)-\left(7\right)$ egyenleteket átrendezni. A $\left(2\right)$ és $\left(3\right)$ egyenletet összeadva $\begin{array}{c}{\displaystyle Mg-K_2=Ma+\left(\Theta /r\right)\beta \mathrm{,}}\end{array}$ majd $K_2$, $\beta$, $l_0$ és $\Theta$ értékét az $\left(5\right)$, $\left(7\right)$, $\left(1\right)$ és $\left(4\right)$ egyenletekből behelyettesítve: $\begin{array}{c}{\displaystyle -Dx=\left[M+\left(1/2\right)m\right]a\mathrm{.}}\end{array}$ (8) Az így nyert összefüggés egy $M+\left(1/2\right)m$ effektív tömegű harmonikus oszcillátor mozgásegyenlete. A kötélen lógó test tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega =\sqrt[]{\frac{D}{M+\left(1/2\right)m}}}\end{array}$ körfrekvenciájú rezgőmozgást végez. Az $x$ kitérés időfüggése: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=h\text{cos}\sqrt[]{\frac{D}{M+\left(1/2\right)m}}t\mathrm{,}}\end{array}$ (9) ahol az amplitúdó és a fázis meghatározásánál felhasználtuk, hogy a $t=0$ pillanatban az elengedett test kitérése $x\left(t=0\right)=h$ volt. A $\left(6\right)$ összefüggés alapján a csiga mozgását a $\begin{array}{c}{\displaystyle \phi =\frac{h}{r}\text{cos}\sqrt[]{\frac{D}{M+\left(1/2\right)m}}t}\end{array}$ (10) egyenlet írja le. Vizsgáljuk meg a fenti megoldás érvényességi határát! A kötél nem adhat át nyomóerőt, ezért ha a $\left(2\right)-\left(7\right)$ egyenleteket a teljes mozgásra kívánjuk alkalmazni, teljesülnie kell a $K_1\ge 0$ és a $K_2\ge 0$ feltételeknek. Az első egyenlőtlenség $\left(2\right)$ alapján a gyorsulásra jelent megszorítást: $\begin{array}{c}{\displaystyle a\le g\mathrm{,}}\end{array}$ (11) míg a második a kitérésre: $\begin{array}{c}{\displaystyle x\ge -l_0\mathrm{.}}\end{array}$ (12) A maximális gyorsulás: $a_{\text{max}}=h\frac{D}{M+\left(1/2\right)m}$. A kitérés a $-h\le x\le h$ határok között változik. A $\left(11\right)$ és $\left(12\right)$ egyenlőtlenségek fennállásához ezért a ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle h\frac{D}{M+\left(1/2\right)m}\le g\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>13</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle h\le l_0=Mg/D}\hfill & \text{(<mn>14</mn>)}\end{array}}$ összefüggéseknek kell teljesülniük. Ezek közül a $\left(14\right)$ feltétel a szigorúbb; teljes periódusú harmonikus rezgőmozgást csak akkor végez a test, ha az elengedés pillanatában a nyugalmi állapottól mért lehúzás értéke nem nagyobb, mint $Mg/D$. Ha $h>Mg/D$, a $\left(12\right)$ egyenlőtlenség alapján a test és a csiga mozgását a harmonikus rezgőmozgás $\left(9\right)$ és $\left(10\right)$ egyenletei csak a $\begin{array}{c}{\displaystyle t_0=\frac{1}{\omega }\text{arc}\text{cos}\left\{-\frac{l_0}{h}\right\}=\sqrt[]{\frac{M+\left(1/2\right)m}{D}}\text{arc}\text{cos}\left\{-\frac{Mg}{Dh}\right\}}\end{array}$ időpillanatig írják le. Ekkor a kötelek meglazulnak, az $M$ tömegű test $v_0=-l_0\omega \text{sin}\omega t_0$ kezdősebességű függőleges hajítás pályáján mozog, a csiga $v_0/r$ szögsebességgel egyenletesen forog tovább (kötélerők hiányában a kötél nem tapadhat a csigára), az idealizált nulla tömegű rugó pedig állva marad. $t\text{'}=2v_0/g$ idő elteltével a test ellenkező irányú sebességgel érkezik az $x=-l_0$ ponthoz, a csiga forgásiránya azonban nem változik meg. Amint $x>-l_0$, az ébredő kötélerők rászorítják a kötelet a csigára és a súrlódási erő ellen munkát végeznek, mindaddig, amíg (a csiga forgásirányát, szögsebességét megváltoztatva) teljesül a $\left(7\right)$ kényszerfeltétel. Ha az elengedés pillanatában $h>Mg/D$, a létrejövő mozgás nem lesz periodikus. A mozgás közben lesznek olyan szakaszok, amikor a súrlódási erő ellen dolgozva a rendszer mechanikai energiája csökken. Így bizonyos idő elteltével a kitérés értéke az $-l_0\le x\le l_0$ intervallumba kerül, és ettől kezdve a test és a csiga már $\omega$ körfrekvenciájú rezgőmozgást végez.    Dóra Csaba (Törökszentmiklós, Bercsényi M. Gimn., III. o. t.)  dolgozata alapján