Kezdőlap


Feladat:	1479. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Polacsek Lajos
Füzet:	1978/november, 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Stokes-törvény, Egyéb (tömegpont mozgásegyenletével kapcsolatos), Határozott integrál, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/január: 1479. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A hajóra csak a $k v$ nagyságú súrlódási erő hat, a mozgásegyenlet tehát a következő:

\begin{matrix} m a = - k v . \end{matrix}

A gyorsulás a sebesség idő szerinti deriváltja, tehát a sebesség mint az idő függvénye eleget tesz az alábbi egyenletnek:

\begin{matrix} d v / d t = - (k / m) \cdot v . \end{matrix}

A feladatban közölt útmutatás alapján felírhatjuk ezen egyenlet általános megoldását:

\begin{matrix} v (t) = b e^{- (k / m) t} . \end{matrix}

Mivel kezdetben (a

t = 0

időpontban) a hajó sebessége

v_{0}

volt, a szóban forgó esetben

b = v_{0}

, tehát

\begin{matrix} v (t) = v_{0} e^{- (k / m) t} \end{matrix}

t

idő alatt megtett

x (t)

út a

v (t)

függvény integrálásával nyerhető:

\begin{matrix} x (t) = \int_{0}^{t} v (t') d t = (v_{0} m / k) [1 - e^{- (k / m) t}] . \end{matrix}

Jelölje

t_{1 / 2}

azt az időpontot, amikorra a hajó sebessége a felére csökken, ekkor

\begin{matrix} v_{0} / 2 = v_{0} e^{- (k / m) t_{1 / 2}} . \end{matrix}

Ennek alapján

\begin{matrix} x (t_{1 / 2}) = (v_{0} m / k) [1 - (1 / 2)] = v_{0} m / 2 k . \end{matrix}

Az adatokkal

x (t_{1 / 2}) = 5 m

v (t)

képletéből leolvasható, hogy

t \to \infty

esetén a sebesség nullához tart, véges idő elmúltával azonban mindig pozitív a sebesség. A teljes megtett utat ezért úgy kapjuk

x (t)

-ből, hogy kiszámoljuk a határértékét

t \to \infty

esetén, így

\begin{matrix} x_{teljes} = v_{0} m / k, \end{matrix}

vagyis az

x (t_{1 / 2})

távolság kétszerese.
Tehát bármely véges

t

időpontban pozitív sebessége van a hajónak, de nagy

t

értékek esetén a sebesség olyan kicsi, hogy a teljes befutott út nagyon hosszú idő múlva is csak megközelíti

x_{teljes}

értékét, de nem éri el.
Ilyen erő hatására tehát sohasem állna meg a test, a megtett út határértéke azonban véges lenne. Ez az erő jól közelíti a folyadékokban fellépő közegellenállási erőt, azonban a valóság éppen úgy tér el a közelítéstől, hogy az erő

F = - k v

kifejezésében más tag is szerepel, amelynek hatása a véges időben való megállást eredményezi.

Polacsek Lajos (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., III. o. t.)