Kezdőlap


Feladat:	1478. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benkő Zsigmond , Kókai László , Samu Péter
Füzet:	1978/november, 168 - 169. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Helyzeti energia inhomogén gravitációs mezőben, Bolygómozgás, Kepler törvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/január: 1478. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ellipszis pályán keringő űrhajó mechanikai energiája

\begin{matrix} E = - γ \frac{M m}{r} + \frac{1}{2} m v^{2}, \end{matrix}

(1)

ahol

M

a Föld tömege,

m

az űrhajóé,

v

pedig az űrhajó pillanatnyi sebessége

r

távolságra a Föld középpontjától. (A helyzeti energiát úgy vettük fel, hogy a végtelenben legyen nulla.) Eszerint az űrhajó mechanikai energiája arányos a tömegével. Ha a feladatnak megfelelően üzemanyag elégetés miatt az űrhajó tömege valamilyen mértékben csökken, akkor fog

E

is ugyanolyan mértékben változni, ha az

\begin{matrix} E / m = (1 / 2) v^{2} - γ M / r \end{matrix}

(2)

kifejezés állandó marad. Tegyük fel, hogy a pályamódosítás ideje lényegesen rövidebb a keringési időnél, ekkor a pályamódosítás miatt

r

elhanyagolható mértékben változik, így

v^{2}

sem változhat. Ezt csak úgy lehet elérni, hogy csak a sebesség irányát változtatják, azaz a hajtóműveket úgy működtetik, hogy az azok által kifejtett erő az űrhajó pillanatnyi sebességére merőleges legyen. (Ha a pályamódosítás alatt a hajtóművek által kifejtett erő minden pillanatban merőleges az űrhajó pillanatnyi sebességére, hosszú ideig tartó pályamódosítás alatt sem fog az

E / m

hányados változni. Tekintsük ugyanis az űrhajó megmaradó részét és az elégetendő üzemanyagot külön rendszereknek, amelyek között

F (t)

erő hat. Ez az erő az űrhajó megmaradó tömegén

\begin{matrix} L = \int F (t) v (t) d t \end{matrix}

(3)

munkát végez. Mivel

F (t) v (t)

minden pillanatban nulla, az űrhajó megmaradó tömegének energiája nem változik.)
A keringési idő kiszámításához felhasználjuk, hogy a gravitációs térben ellipszis pályán haladó test pillanatnyi sebessége a pálya adataival kifejezve

\begin{matrix} v^{2} = γ M [(2 / r) - (1 / a)] . \end{matrix}

(4)

Itt

a

az ellipszis nagytengelyének a fele.

(4)

és

(2)

összevetéséből

\begin{matrix} E / m = - γ M / (2 a) \end{matrix}

(5)

adódik. Mivel a bal oldal nem változik a módosítás során,

a

sem változhat. A keringési idő Kepler III. törvénye szerint csak a nagytengelytől függ, tehát a keringési idő sem változik.

Benkő Zsigmond (Szolnok, Verseghy F. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzés. A feladat nem teljesen szabatos megfogalmazása lehetővé tesz egy másik értelmezést is: mivel (5) szerint

E

negatív,

E

akkor csökken, ha

| E |

nő. Ennek megfelelően ha

m

k

-szorosára csökken (

k < 1

| E |

1 / k

-szoros növekedését kívánjuk meg. Ekkor (5) szerint

a

-nak

k^{2}

-szeresére kell csökkennie. Felhasználva, hogy

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{a^{3}}{γ M}} = 2 π \sqrt[]{\frac{a_{0}^{2} k^{6}}{γ M}} = T_{0} \cdot k^{3}, \end{matrix}

a módosított pályán a keringési idő az eredeti

k^{3}

-szöröse. Megjegyezzük, hogy ilyen módosítás nem feltétlen hajtható végre egyszerű fékezéssel; ha ugyanis az űrhajó messzebb van a Földtől, mint a beállítandó pálya nagytengelye, a manőver során az űrhajót közelebb is kell vezetni a Földhöz. Az elbírálás során az itt vázolt gondolatmenetet követő megoldásokat is helyesnek fogadtuk el.