Kezdőlap


Feladat:	1476. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bene Gyula , Frankhauser József , Kaufmann Zoltán , Szabó László
Füzet:	1978/október, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Párhuzamos erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/január: 1476. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Helyezzük a kocsit egy olyan koordináta-rendszerbe, amelynek origója a kocsi középpontjában van, tengelyei a kocsi oldalaival párhuzamosak (1. ábra). Legyen a teher a kocsi $(x, y)$ koordinátájú pontjában !

1. ábra

A kocsira ható erők egyensúlyban vannak:

\begin{matrix} F_{1} + F_{2} + F_{3} + F_{4} - Q - G = 0 \end{matrix}

(1)

x

, ill.

y

tengelyre vonatkozó forgatónyomatékok eredője nulla:

\begin{matrix} (F_{1} + F_{2}) b / 2 - (F_{3} + F_{4}) b / 2 - G y = 0, & (2) \\ (F_{1} + F_{4}) a / 2 - (F_{2} + F_{3}) a / 2 - G x = 0. & (3) \end{matrix}

(Feltettük, hogy a kocsi nem billen meg annyira, hogy az erők karjának változását figyelembe kelljen venni.)
A négy kerékben ébredő erőre csak három egyensúlyi egyenletet tudtunk felírni, így a feladat sztatikailag határozatlan. A határozatlanságot a kerekeknél levő rugók összenyomódásának figyelembevételével oldhatjuk fel. Legyen az egyes rugók hosszváltozása

x_{i} (i = 1, 2, 3, 4)

, ekkor

\begin{matrix} F_{i} = k x_{i} . \end{matrix}

(4)

2. ábra

A kocsi középpontjának magassága az önsúly és a terhelés hatására

m

-mel változik meg.

m

két, az átlók síkjában levő trapéz középvonala (2. ábra), így

\begin{matrix} m = \frac{x_{1} + x_{3}}{2} = \frac{x_{2} + x_{4}}{2}, \end{matrix}

(5)

amiből (4) figyelembevételével

\begin{matrix} F_{1} + F_{3} = F_{2} + F_{4} . \end{matrix}

(6)

Az (1)‐(3) és (6) egyenletrendszerből az egyes kerekeknél ható erők meghatározhatók:

\begin{matrix} F_{1} = (Q / 4) + (G / 4) + (G / 2) (x / a + y / b), \\ F_{2} = (Q / 4) + (G / 4) + (G / 2) (- x / a + y / b), \\ F_{3} = (Q / 4) + (G / 4) + (G / 2) (- x / a - y / b), \\ F_{4} = (Q / 4) + (G / 4) + (G / 2) (x / a - y / b) . \end{matrix}

Ha a terhelést a kocsi valamelyik kerekéhez túlságosan közel tesszük, az ellentétes oldalon ható erőre negatív érték adódik. Ez azt jelenti, hogy a kerék felemelkedik, az ott ható erő nulla. A másik három erő ekkor az (1)-(3) egyenletrendszerből határozható meg. Könnyen megmutatható, hogy valamelyik erő akkor válik negatívvá, ha a terhelést olyan közel tesszük a kocsi ellentétes oldalon levő kerekéhez, hogy

\begin{matrix} (| x | / a) + (| y | / b) > (G + Q) / (2 G) . \end{matrix}

Mivel

| x | \leq a / 2

és

| y | \leq b / 2

ilyen hely csak akkor van, ha

G > Q

Bene Gyula (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)

Megjegyzés. Sok megoldó a sztatikai határozatlanság problémáját azzal kerülte meg, hogy

G

-t először két, a kocsi éleinél ható komponensre bontotta, majd ezeket bontotta fel a kerekeknél ható két-két erőre. Ez az eljárás nyilvánvalóan hibás, mivel a második felbontásnál csak két keréknél ható erő forgatónyomatékát veszi figyelembe. A kapott erők általános esetben a rakfelület ,,megcsavarodását'' eredményezik.