Feladat:	1472. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Győri József ,  Kálvin Sándor ,  Kaufmann Zoltán ,  Kilián Imre ,  Kókai László ,  Kriza György ,  Németh Gábor ,  Samu Péter ,  Umann Gábor
Füzet:	1978/október, 90. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Transzformátorok (Váltó áramú áramkörök), Vektordiagramok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/december: 1472. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Először tételezzük fel, hogy az alkalmazott váltakozó feszültség frekvenciája olyan kicsi, hogy a transzformátoron keletkező önindukciós feszültség elhanyagolható a kondenzátor feszültségéhez képest. A kondenzátor feszültsége $U_C=I/\left(\omega C\right)$ és az árammal ${90}^{\circ }$-os fázisszöget zár be. Mivel a kondenzátor és az ellenállás a $QP$ pontok közé sorosan van kötve, rajtuk azonos áram folyik, ezért megállapíthatjuk, hogy feszültségük között ${90}^{\circ }$-os a fáziskülönbség. A fentiek alapján készítsük el az áramkör fázisdiagramját! Kirchhoff törvénye szerint a transzformátor $U$ feszültsége egyenlő az ellenállás és a kondenzátor feszültségének összegével (1. ábra).     1. ábra   Az ábrán jelöltük az áramkör megfelelő $A\mathrm{,}B\mathrm{,}P\mathrm{,}Q$ pontjait is. Mivel az $A$ pont középkivezetésnek felel meg, a hozzá tartozó feszültség $U/2$. Ha megrajzoljuk a derékszögű háromszöghöz tartozó Thalész-kört, megállapíthatjuk, hogy az $AB$ szakasz éppen a kör sugara. Ezért a kérdezett feszültség $\begin{array}{c}{\displaystyle U_{AB}=U/\mathrm{2,}}\end{array}$ függetlenül az $R$ ellenállástól. Az $AB$ és $AP$ közötti $\Psi$ fázisszög, tekintve, hogy az $ABP$ háromszög egyenlőszárú: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Psi ={180}^{\circ }-2\phi \mathrm{,}}\end{array}$ ahol $\phi$ a transzformátor feszültségének és áramának fáziskülönbsége. Ennek értéke az ábra alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \phi =\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">arc tg</span>}\left[1/\left(RC\omega \right)\right]}\end{array}$     2. ábra   Vizsgáljuk meg, hogyan módosul a megoldás, ha figyelembe vesszük a transzformátor önindukcióját ! Az áramkör helyettesítő képe a 2. ábrán látható; itt külön jelöltük a primer áram által indukált $U/2$ feszültségeket és az egyéb hatásokat helyettesítő $L$ önindukciós tényezőt.     3. ábra   Az induktivitáson eső feszültség esetünkben a kondenzátor feszültségével ellentétes irányú és nagysága $U_L=\omega L\cdot I$. A fázisdiagram most bonyolultabb (3. ábra), és az $AB$ pontok közötti feszültség függ $R$-től. Egy érdekes speciális eset, amikor az $L$ induktivitáson eső feszültség éppen egyenlő a kondenzátor feszültségével $\left(\omega =1/\sqrt[]{LC}\right)$. Ennek fázisdiagramja a 4. ábrán látható. A kérdezett feszültség: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle U_{AB}=\sqrt[]{{\left(I\omega L\right)}^2+{\left(U/2\right)}^2}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =\left(U/2\right)\cdot \sqrt[]{{\left(2/R\right)}^2\cdot \left(L/C\right)+1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$     4. ábra    Umann Gábor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.)