Kezdőlap


Feladat:	1465. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Umann Gábor
Füzet:	1978/április, 186. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ellenállások kapcsolása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/november: 1465. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsünk egy olyan $n$ csomópontú kapcsolást, amelyben minden csomópont egy $r$ ellenálláson keresztül minden csomóponttal össze van kötve! Kapcsoljunk tetszőleges két pontja közé feszültséget, legyen ez a két pont $A$ és $B$ . A fennmaradó $C$ , $D$ , $...$ , $M$ csomópontok a szimmetria miatt az áramkör szempontjából nem különböztethetők meg, következésképp ekvipotenciális pontok. Az őket összekötő ellenállásokon ezért nem folyik áram, azok az $A$ és $B$ pontok közötti eredő ellenállást nem befolyásolják, annak kiszámításakor tehát elhagyhatók.

1. ábra

Az áramkör ezért az 1. ábrán látható kapcsolással helyettesíthető. Az

A

és a

B

pontok közti eredő ellenállás:

\begin{matrix} r_{E} = \frac{1}{\frac{1}{r} + \frac{n - 2}{2 r}} = \frac{2 r}{n} . \end{matrix}

Innen

n

-et kifejezhetjük:

\begin{matrix} n = \frac{2 r}{r_{E}} . \end{matrix}

Számadatainkat behelyettesítve

n = 6

-hoz jutunk, s ez a feladat egyetlen megoldása. Ha tehát hat pont mindegyikét

2 Ω

-os ellenállásokon keresztül az összes többivel összekötjük, akkor bármely két pontja között

r_{E} = (2 / 3) Ω

lesz az eredő ellenállás. Ilyen kapcsolás látható a 2. ábrán. Összesen

\begin{matrix} (\binom{n}{2}) = \frac{n (n - 1)}{2} = 15 \end{matrix}

darab ellenállást használtunk fel.

2. ábra

Umann Gábor (Bp. Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)