Feladat:	1463. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Czuczor Lajos ,  Frankhauser József ,  Kilián Imre ,  Kriza György ,  Sas Viktor
Füzet:	1978/május, 227 - 231. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Tapadó súrlódás, Csúszó súrlódás, Egyéb merev test térbeli mozgása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/november: 1463. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Készítsünk felülnézeti rajzot a kerékpár egy általános helyzetéről (1. ábra; a kerékpár síkjának a függőlegestől való eltérését, valamint azokat a hatásokat, amelyek a súlypont és az alátámasztási pontok magasságkülönbségéből adódnak, most és a továbbiakban mindig elhanyagoljuk). Egyenes vonalú mozgás esetén az első kerék vetülete és a kerékpár hossztengelye közötti $\alpha$ szög nulla, és a tömegközéppont $v$ sebessége is a hossztengely irányába mutat ($\phi =0$). Az $\alpha \ne 0$ a normális kormányzásnak felel meg, $\alpha =0$, $\phi \ne 0$ pedig akkor lehetséges, ha a hátsó kerék csúszik.     1. ábra   A feladat modell járműve olyan esetet jelképez, amely egyenesen tartott kormánynak felel meg. A fékezés kezdetekor a kocsi egyenes vonalon mozgott, tehát $\alpha =\phi =0$ a fékezés megkezdését követő pillanatban is. A kocsira ható erők felrajzolásához a következőket kell tudni: 1. Gördülő és szabadon forgó kerék esetén a kerék és a talaj közötti súrlódási erő jó közelítéssel merőleges a kerék síkjára. (A közelítés feltétele: ${\Theta }^{*}/r^2\ll m$, ahol ${\Theta }^{*}$ a kerék tehetetlenségi nyomatéka, $r$ a kerék sugara, $m$ pedig az egész jármű tömege. A bizonyításnál azt kell felhasználni, hogy a súrlódási erő párhuzamos komponense a kerék nagy szöggyorsulását okozná, ami nincs összhangban a gördülés feltételével.) 2. Teljesen befékezett kerekekre csúszó súrlódási erő hat, ami ellentétes irányú a relatív elmozdulással. Az erő nagysága $\begin{array}{c}{\displaystyle S=\mu N=\mu \frac{l_1}{l_1+l_2}mg\mathrm{,}}\end{array}$ (1) ahol $\mu$ a súrlódási együttható, $l_1$, $l_2$ az első és a hátsó kerék súlyponttól mért távolsága, $N$ a talaj nyomóereje, $mg$ pedig a jármű súlya (2. ábra).     2. ábra   Az elmondottakból egyszerűen következik, hogy a kerékpár a fékezés megkezdése után egyenes vonalú pályán egyenletesen lassulni fog, mert 1. alapján az első kerékre nem hat súrlódási erő (ha a kerék síkjára merőleges súrlódási erő nullától különbözne, akkor megbontaná a szimmetriát), 2. alapján pedig a hátsó kerékre a tömegközéppont sebességével ellentétes irányú erő hat (2. ábra). A tömegközéppontra vonatkozó forgatónyomaték is nulla. Lehetséges azonban, hogy a valóságban mégsem ez történik. Ennek oka, hogy a járművet mindig érik oldalirányú erőhatások, amelyek az egyenes pályától egy kicsit eltérítik, és előfordulhat, hogy egy ilyen oldallökés után nem az eredeti egyenes vonalú mozgás áll vissza, hanem egy bonyolult, csúszó, forgó mozgás.     3. ábra   A probléma részletes vizsgálatához válasszunk egy olyan koordinátarendszert, amelynek $y$-tengelye a jármű eredeti mozgásának irányába mutat (3. ábra). Tételezzük fel, hogy a lökés a jármű sebességét alig változtatta meg, ezért a tömegközéppont sebességének komponenseire igaz a ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle v_y=v_0\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle v_x\ll v_0}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$ feltétel, ahol $v_0$ a jármű sebessége a lökés előtt. A jármű mozgásában keletkezett zavar egyértelműen jellemezhető a kocsi hossztengelyének és a koordinátarendszer $y$-tengelyének szögével (ez a szög a (3) feltétel miatt megegyezik az 1. ábrán definiált $\phi$ szöggel), továbbá a jármű függőleges tengely körüli forgásának $\omega$ szögsebességével. A feladat a (3) közelítés nélkül és tetszőleges $\omega$, $\phi$ mellett is megoldható, de matematikailag nagyon bonyolult és nehezen áttekinthető. A mozgás jellemzésére szerencsére elég azt vizsgálni, amikor a $\begin{array}{c}{\displaystyle \phi \ll \pi }\end{array}$ (4) feltétel is teljesül. A 3. ábrán felrajzoltuk a kocsira ható erőket is. Az 1. miatt az $F$ súrlódási erő merőleges az első kerék síkjára. A hátsó kerekeknél fellépő súrlódási erő nagyságát az (1) egyenlet adja meg, és irányáról egyelőre semmit sem tudunk. Feltételezzük, hogy a súrlódási erővektor vetületei a $-x$, $-y$ koordináta irányokba mutatnak, de a későbbiekben ezt ellenőrizni kell. A mozgásegyenletek: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle m{a}_y}& {\displaystyle =-S_y-F\cdot \text{sin}\phi \mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle m{a}_x}& {\displaystyle =F\cdot \text{cos}\phi -S_x\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>6</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \Theta \beta }& {\displaystyle =F{l}_1-\left(S_y\cdot \text{sin}\phi -S_x\cdot \text{cos}\phi \right)l_2\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>7</mn>)}\end{array}}$ Itt $\Theta$ a tömegközépponton átmenő függőleges tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték, $\beta$ a szöggyorsulás, $a_x$, $a_y$, a tömegközéppont gyorsulásának vetületei, $S_x$ $S_y$ pedig az $S$ súrlódási erő vetületei. E három egyenlet felírásával még nem vettük figyelembe, hogy az első kerék gördülése miatt a szöggyorsulás és a tömegközéppont gyorsulása nem független. Meg kell még határozni az $S$ súrlódási erő irányát is. Az első és hátsó kerék elmozdulását leírhatjuk a tömegközéppont elmozdulása és a tömegközéppont körüli elfordulás összegeként. A tömegközéppont elmozdulásának a kocsi hossztengelyére merőleges vetülete $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta n=-\Delta y\cdot \text{sin}\phi +\Delta x\cdot \text{cos}\phi \mathrm{,}}\end{array}$ (8) ahol $\Delta x$ és $\Delta y$ a tömegközéppont koordinátáinak megváltozása. A párhuzamos vetület: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta p=\Delta y\cdot \text{cos}\phi +\Delta x\cdot \text{sin}\phi \mathrm{.}}\end{array}$ (9) Az első kerék hossztengelyre merőleges elmozdulása $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta n_1=\Delta \phi \cdot l_1+\Delta n=\Delta \phi \cdot l_1-\Delta y\cdot \text{sin}\phi +\Delta x\cdot \text{cos}\phi \mathrm{,}}\end{array}$ (10) ahol $\Delta \phi$ a szögelfordulás. Ez az elmozdulás azonban nem lehet nullától különböző, mert a kerék gördül. Átrendezve, $\Delta n_1=0$ behelyettesítésével és az elmozdulásokhoz szükséges idővel osztva végül kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega l_1=v_y\cdot \text{sin}\phi -v_x\cdot \text{cos}\phi \mathrm{.}}\end{array}$ (11) Ezt a kényszerfeltételt később még többször is alkalmazzuk. A hátsó kerék elmozdulásának merőleges és párhuzamos vetülete: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \Delta n_2}& {\displaystyle =-\Delta \phi \cdot l_2-\Delta y\cdot \text{sin}\phi +\Delta x\cdot \text{cos}\phi \mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>12</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \Delta p_2}& {\displaystyle =\Delta y\cdot \text{cos}\phi +\Delta x\cdot \text{sin}\phi \mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>13</mn>)}\end{array}}$ E két elmozdulás komponens a súrlódási erő irányáról informál, mert megadja a talaj és kerék közötti relatív elmozdulás irányát. Az (5), (6), (7) mozgásegyenletek, a (11) kényszerfeltétel és a (12), (13) egyenletek a jármű mozgását már teljesen meghatározzák. A további számításokhoz használjuk fel a (2), (3) és (4) feltételeket! A (11) egyenlet közelítő alakja $\begin{array}{c}{\displaystyle \omega l_1=v_y\cdot \phi -v_x\mathrm{.}}\end{array}$ (14) Kis $\Delta t$ idő elteltével $\omega$, $v_x$, $v_y$ és $\phi$ értéke megváltozik. Az új egyenlőség $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\omega +\Delta \omega \right)l_1=\left(v_y+\Delta v_y\right)\left(\phi +\Delta \phi \right)-\left(v_x+\Delta v_x\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (15) A két egyenlet különbségét képezve, $\Delta t$-vel osztva, majd $\Delta t$-vel $0$-hoz tartva megkapjuk a gyorsulásokra vonatkozó kényszerfeltételt: $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta l_1=a_y\cdot \phi +v_y\cdot \omega -a_x\mathrm{.}}\end{array}$ (16) A (2) és (3) feltétel miatt a (14) egyenlőség behelyettesítése után végül nyerjük: $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta l_1=a_y\phi +v_0\omega -a_x=a_y\phi +\frac{v_0^2}{l_1}\phi -a_x\mathrm{.}}\end{array}$ (17) A (12) és (13) egyenlet a hátsó kerék elmozdulását nem az $x$‐$y$ koordináta-rendszerben adja meg, hanem az ezzel majdnem egybeeső ,,merőleges'', ,,párhuzamos'' koordináta-rendszerben. Kis $\phi$ esetén a hátsó kerék elmozdulása ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \Delta x_2}& {\displaystyle =\Delta n_2+\phi \cdot \Delta p_2\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>18</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \Delta y_2}& {\displaystyle =\Delta p_2}\hfill & \text{(<mn>19</mn>)}\end{array}}$ alakban számítható. A $\Delta x=v_x\cdot \Delta t$, $\Delta y=v_y\cdot \Delta t$, $\Delta \phi =\omega \cdot \Delta t$ behelyettesítések után a (14) egyenlet és a (2), (3) közelítések felhasználásával végül kapjuk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \Delta x_2=-v_0\phi \frac{l_2}{l_1}\Delta t\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>20</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \Delta y_2=v_0\cdot \Delta t\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>21</mn>)}\end{array}}$ Látható, hogy $\Delta x_2$ a $\phi$ kitéréssel arányos kis mennyiség, $\Delta x_2\ll \Delta y_2$. A súrlódási erő komponenseire az ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle S_x=S\frac{\Delta x_2}{\sqrt[]{\Delta x_2^2+\Delta y_2^2}}=S\frac{\Delta x_2}{\Delta y_2}=-S\phi \frac{l_2}{l_1}\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>22</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle S_y=S\frac{\Delta y_2}{\sqrt[]{\Delta x_2^2+\Delta y_2^2}}=S\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>23</mn>)}\end{array}}$ közelítő formula érvényes. ($S_x$ negatív előjele mutatja, hogy ez a vetület ‐ korábbi feltevésünkkel szemben ‐ a pozitív $x$-tengely irányába mutat.) A mozgásegyenletek közelítő alakja ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle m{a}_y}& {\displaystyle =-S_y-F\cdot \phi \mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>24</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle m{a}_x}& {\displaystyle =F-S_x\mathrm{,}}\hfill & \text{(<mn>25</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle \Theta \beta }& {\displaystyle =F{l}_1-\left(S_y\phi -S_x\right)l_2\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>26</mn>)}\end{array}}$ Megoldandó egyenletrendszerünk $\phi$ rögzített értéke mellett az $S_x$, $S_y$, $F$, $a_x$, $a_y$ $\beta$ ismeretleneket tartalmazza, és a (17), (22), (23), (24), (25) és (26) egyenletekből áll. A súrlódási erő nagyságát az (1) egyenlet adja meg. Végeredményben a számunkra érdekes mennyiség a szöggyorsulás: $\begin{array}{c}{\displaystyle \beta =\frac{m{v}_0^2-S\frac{{\left(l_1+l_2\right)}^2}{l_1}}{\Theta +m{l}_1^2}\cdot \phi \mathrm{.}}\end{array}$ (27) Ebből az eredményből levonható első és legfontosabb következtetésünk: a szöggyorsulás előjele a kocsi jellemzőitől és sebességétől, valamint a súrlódási erő nagyságától függően megegyezik vagy ellentétes a szögeltérés előjelével. Ha a $v_0$ sebesség a $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{kritikus}}=\sqrt[]{\frac{S}{m}\cdot \frac{{\left(l_1+l_2\right)}^2}{l_1}}}\end{array}$ (28) sebességértéknél nagyobb, akkor az előjel pozitív, és a mozgás a $\phi$ szög növekedését eredményezi; a kocsi tovább farol és csúszik. Ha a sebesség ennél kisebb, akkor a szöggyorsulás iránya a kitéréssel ellentétes, és visszaáll az eredeti egyenes vonalú lassulás. (A szöggyorsulás és szögkitérés közötti összefüggés emlékeztet a fizikai inga mozgásegyenletére, ezért $\phi =0$ körüli rezgéseket várnánk. A (27) képlet azonban még kis $\phi$ esetén is csak $v_x=0$ esetén egzakt. A részletes vizsgálat megmutatja, hogy az oldalirányú sebességből adódó tagok a rezgés csillapodását eredményezik.) Felmerül a kérdés, mi okozza a jármű oldalra fordulási hajlamát nagy sebességek esetén? A 3. ábrából látható, hogy a pozitív szöggyorsulást az $F$ erő hozza létre, ha tehát a kormány mozgatásával ($\alpha <0$ az 1. ábrán) az $F$ erőt változtatjuk, akkor a járművet stabilizálhatjuk. A mozgás természetes stabilizáló ereje a hátsó keréknél fellépő súrlódás. Ha a súrlódási erő az (1) összefüggés szerint függ $l_1$-től és $l_2$ től, akkor a kritikus sebesség $\begin{array}{c}{\displaystyle v_{\text{krit}}=\sqrt[]{\mu g\left(l_1+l_2\right)}\mathrm{.}}\end{array}$ (29) A valóságban a gumifelület és az aszfalt közötti csúszó súrlódás nem arányos a nyomóerővel, és a sebességtől is függ. Nagyobb nyomóerő esetén a számított $\mu N$-nél kisebb súrlódást kapunk, ezért kedvezőbb, ha a jármű súlypontja az első kerékhez közelebb van (kis $l_1$ a (28) kifejezésben).