Feladat:	1462. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bán Marianna ,  Benkő Zsigmond ,  Czuczor Lajos ,  Frankhauser József ,  Kassai János ,  Kaufmann Zoltán ,  Kovács Zoltán ,  Lovász Tibor ,  Márk Géza ,  Pacher Tibor
Füzet:	1978/április, 183 - 184. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Csúszó súrlódás, Pontrendszerek mozgásegyenletei, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/november: 1462. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     Az állandó sebességgel mozgó rendszerre ható $F$ erő egyenlő az egyes hasáboknál fellépő $\mu mg$ csúszási súrlódási erők összegével (1. ábra). $\begin{array}{c}{\displaystyle F=n\mu mg\mathrm{.}}\end{array}$ (1)     1. ábra     2. ábra   A rögzített végű, $F$ erővel nyújtott lánc egyes rugóiban ébredő erők sokfélék lehetnek, hiszen a tapadási súrlódási erő ‐ $\mu mg$ és $\mu mg$ között mindenféle értéket felvehet (2. ábra). Ha $K_1$, $K_2$, $\text{...}$, $K_{n-1}$-gyel jelöljük az 1, 2, $\text{...}$, $n-1$-edik rugóban ébredő erőt, akkor a fentiek alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle F-\mu mg\le K_1\le F+\mu mg\mathrm{.}}\end{array}$ (2) A második rugóra $\begin{array}{c}{\displaystyle K_1-\mu mg\le K_2\le K_1+\mu mg\mathrm{.}}\end{array}$ illetve a (2) egyenlőtlenség felhasználásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle F-2\mu mg\le K_2\le F+2\mu mg\mathrm{.}}\end{array}$ Ugyanígy az $i$-edik rugóra ($i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}a-1$) $\begin{array}{c}{\displaystyle F-i\mu mg\le K_l\le F+i\mu mg\mathrm{.}}\end{array}$ $F$ értékét írjuk be (1) alapján: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(n-i\right)\mu mg\le K_l\le \left(n+i\right)\mu mg\left(i=\mathrm{1,}\mathrm{2,}\text{...}\mathrm{,}n-1\right)\mathrm{,}}\end{array}$ (3) majd adjuk össze ezt az $\left(n-1\right)$ db egyenlőtlenséget, így kapjuk: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \mu mg\left[\left(n-1\right)+\left(n-2\right)+\text{...}+1\right]\le \left(K_1+K_2+\text{...}+K_{n-1}\right)\le }\hfill \\ \hfill {\displaystyle \le \mu mg\left[\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\text{...}+\left(2n-1\right)\right]\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Felhasználva a számtani sor összegképletét és hogy ($k$-val jelölve a rugók direkciós erejét) a teljes megnyúlás: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2l=\frac{K_1}{k}+\frac{K_2}{k}+\text{...}+\frac{K_{n-1}}{k}\mathrm{,}}\end{array}$ kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu mg\frac{n\left(n-1\right)}{2}\le 2lk\le \mu mg\frac{3n\left(n-1\right)}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (4)     3. ábra   $2F$ erő hatására az egész rendszer azonos $a$ gyorsulással fog mozogni (3. ábra), amelyre: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2F-n\mu mg=n\cdot ma\mathrm{,}}\end{array}$ innen $\begin{array}{c}{\displaystyle \mu g=a\mathrm{.}}\end{array}$ Minden rugó a mögötte haladó hasábok gyorsításához szükséges erőt biztosítja, a súrlódási erő ellenében. Így az $\left(n-1\right)$-edik rugóban ébredő erő: $\begin{array}{c}{\displaystyle K_{n-1}=\mu mg+ma=2\mu mg\mathrm{.}}\end{array}$ Az $\left(n-2\right)$-edik rugóban ébredő erő $\begin{array}{c}{\displaystyle K_{n-2}=2\mu mg+2ma=4\mu mg\mathrm{.}}\end{array}$ Hasonló igaz a többi rugóra. A teljes megnyúlás: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle \Delta l=\left(1/k\right)\left(K_1+K_2+\text{...}+K_{n-1}\right)=\left(1/k\right)\left[2\mu mg+4\mu mg+\text{...}+2\left(n-1\right)\mu mg\right]=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle =\frac{n\left(n-1\right)}{k}\mu mg\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Felhasználva, hogy (4)-ből $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{4}{3}l\le \frac{n\left(n-1\right)\mu mg}{k}\le 4l\mathrm{,}}\end{array}$ kapjuk: $\left(4/3\right)l\le \Delta l\le 4l$, azaz $2F$ erő hatására a rendszer teljes hosszára a következő érvényes: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(7/3\right)l\le L\le 5l\mathrm{.}}\end{array}$    Kaufmann Zoltán (Vác, Sztáron S. Gimn., III. o. t.)