Kezdőlap


Feladat:	1460. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Baumann József , Benedek Dénes , Czinege Zoltán , Horváth Adorján , Kassai János , Morvai János , Seres István , Szilágyi Ferenc , Umann Gábor
Füzet:	1978/április, 181 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Párhuzamos erők eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/november: 1460. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A gerendára ható erőket az 1. ábra mutatja. A gerendára ható erők eredője nulla, azaz

\begin{matrix} F_{1} + F_{2} - G - Q = 0, \end{matrix}

és ugyanígy nulla a gerendára ható erők forgatónyomatéka is. Az

l

hosszúságú gerenda bal oldali alátámasztási pontjára felírva a forgatónyomatékok összegét:

\begin{matrix} Q \frac{l}{8} + G \frac{l}{4} - F_{2} \frac{l}{2} = 0. \end{matrix}

1. ábra

Ezekből az egyenletekből a keresett

F_{1}

és

F_{2}

erők egyszerűen kifejezhetők:

\begin{matrix} F_{1} = (1 / 2) G + (3 / 4) Q és F_{2} = (1 / 2) G + (1 / 4) Q . \end{matrix}

A gerenda eltörésének vizsgálatához nézzük meg, hogy milyen erők hatnak a gerenda egyes keresztmetszeteiben. Nyilvánvaló, hogy ahol a legnagyobb erők lépnek fel a gerendában, ott törik el a gerenda. Tekintettel arra, hogy a gerendára ható külső erők függőleges hatásvonalúak, a gerenda egyes keresztmetszeteiben ható erőknek is függőleges hatásvonalúaknak kell lenniük. Ezen függőleges erő megállapításához tekintsük a gerenda bal oldalának egy

x

hosszúságú darabját külön testnek (2. ábra).

2. ábra

Erre a testre hat a súlypontjában a súlyerő

(G x / l)

, valamint a rúd többi részének hatása az elválasztási felületen. Ha ez az erő csak egy függőleges

P

erő lenne, a nyomatéki egyenlet nem teljesülhetne a gerenda

x

hosszúságú darabjára. Így fel kell tételeznünk, hogy olyan vízszintes erőrendszer is hat a vizsgált gerendadarabra, amelynek eredője nulla, de forgatónyomatéka éppen akkora, amekkora az egyensúlyhoz szükséges. Az

x

hosszúságú gerendarészre a vágási felületen ható erőrendszernek az eredőjét

(P)

és az eredő forgatónyomatékát

(M)

az egyensúlyi egyenletekből határozhatjuk meg:

\begin{matrix} P = G (x / l); M = G x^{2} / (2 l) . \end{matrix}

(Az erőrendszer pontos eloszlását a gerenda rugalmas tulajdonságai határozzák meg.)

3. ábra

Ha a gerenda vizsgált darabjára egy

F

erő is hat (3. ábra), a vágási felületen ható erő és a forgatónyomaték:

\begin{matrix} P = G (x / l) - F; \\ M = G x^{2} / (2 l) - F y . \end{matrix}

Hasonló módon meghatározhatjuk a gerenda tetszőleges

x

koordinátájú keresztmetszetében ható eredő erőt és forgatónyomatékot is (4. és 5. ábra).

4. ábra

5. ábra

A rúd akkor és ott fog eltörni, amikor és ahol a nyíróerő vagy a hajlítónyomaték eléri a törésre jellemző kritikus értéket. Tehát a törés szempontjából legveszélyesebb hely az, ahol a

P (x)

vagy az

M (x)

függvény abszolút értéke a legnagyobb.
A

P

erő olyan igénybevételét jelenti a gerendának, amely az egész keresztmetszet mentén akarja eltolni a felületeket egymáson, azaz

P

a nyíróerő. Az

M

forgatónyomaték úgy töri el a gerendát, hogy ha pozitív, a gerenda tetején szakítja be az anyagot, itt indul meg a repedés, ha negatív, akkor az alján. Ha a gerenda a forgatónyomaték hatására törik el, a törési felület a megszokott törési felületre (pl. pálca törési felületére) emlékeztet, ha a nyíróerő miatt törik, a felület sík marad. Az, hogy a nyíró vagy a hajlító hatás indítja- e be a törést, a gerenda anyagától, ill. szerkezetétől függ. Gyakorlatban majdnem mindig a hajlító hatás érvényesül.
Így esetünkben a 4. és 5. ábra alapján a

Q

teher növelésével a gerenda valószínűleg a teher felfüggesztési pontjában

(x = 3 l / 8)

törik el, de esetleg elképzelhető, hogy nyírásos törés következik be a bal oldali alátámasztásnál

(x = l / 4)

Umann Gábor (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján

Helyreigazítás (1978. szeptemberben jelent meg):
Több olvasónk felhívta a figyelmünket arra, hogy az 5. ábra hibás. A görbe

3 l / 8

és

3 l / 4

közé eső szakasza is ‐ ellentétben az eredeti ábrával ‐ alulról konvex, hiszen a nyomaték kifejezés négyzetes tagjának az együtthatója minden szakaszra ugyanaz a pozitív mennyiség. Észrevételüket köszönjük. A javított ábra: