Kezdőlap


Feladat:	1458. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Blázsik Zoltán , Kriza György
Füzet:	1978/február, 93 - 94. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kondenzátorok soros kapcsolása, Elektromos töltés megmaradása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/október: 1458. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az 1. ábrán látható áramkörben szereplő kondenzátorok feszültségét akkor tekintjük pozitívnak, ha a bal oldali fegyverzetek töltése pozitív. Ha a kapcsolót zárjuk, akkor az áram megszűnte után a kondenzátorok új feszültségére Kirchhoff II. törvénye szerint fennáll az

\begin{matrix} U'_{1} + U'_{2} = 0 \end{matrix}

(1)

egyenlet (

2.

ábra).

1. ábra

2. ábra

A folyamat során a kondenzátorok összekapcsolt lapjain a töltésmegmaradás következtében a töltések összege változatlan marad. Tekintsük például az izzón át összekapcsolt lapokon levő töltések összegét a kapcsoló zárása előtt, illetve a töltésáramlás megszűnése után:

\begin{matrix} Q_{1} - Q_{2} = Q'_{1} - Q'_{2} . \end{matrix}

(2)

(2)

-be a

Q_{1} = C_{1} U_{1}

és

Q_{2} = C_{2} U_{2}

kifejezéseket behelyettesítjük, akkor

(1)

felhasználásával

U'_{1}

kifejezhető:

\begin{matrix} U'_{1} = \frac{C_{1} U_{1} - C_{2} U_{2}}{C_{1} + C_{2}} . \end{matrix}

(3)

Az izzón annyi töltés haladt át, amennyivel a

C_{1}

kapacitású kondenzátor bal oldali lapján a töltés csökkent. Az izzón a 2. ábrán jelölt irányban áthaladó töltést a

(3)

egyenlet segítségével kifejezhetjük:

\begin{matrix} Δ Q = Q_{1} - Q'_{1} = C_{1} U_{1} - C_{1} U'_{1} = C_{1} C_{2} \frac{U_{1} + U_{2}}{C_{1} + C_{2}}; \end{matrix}

(Természetesen

U_{1}

és

U_{2}

előjele azonos és ellentétes is lehet.) Ha

U_{1} + U_{2} = 0

, akkor az izzón nem folyik áram.

Kriza György (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Oldjuk meg a feladatot általánosan: kössünk sorba egy izzólámpát

n

db kondenzátorral, amelyek kapacitása

C_{1}

C_{2}

...

C_{n}

és feszültsége

U_{1}

U_{2}

...

U_{n}

. Az áramkör zárásától az áram megszűnéséig távozzék a

C_{1}

kapacitású kondenzátor bal oldali lapjáról

Δ Q

töltés. A jobb oldaliról ugyanakkor

- Δ Q

távozik, azaz

Δ Q

töltés kerül a jobb oldali lapra. A

C_{1}

és

C_{2}

kapacitású kondenzátorok összekapcsolt lapjain levő töltések összege a folyamat során változatlan marad, ezért a

C_{2}

kapacitású kondenzátor bal oldali lapját

Δ Q

hagyja el. Gondolatmenetünket folytatva beláthatjuk, hogy mindegyik kondenzátor bal oldali lapjáról

Δ Q

töltés távozik (3. ábra). Bármely két kondenzátor közé kötjük is az izzót, azon

Δ Q

töltés folyik át az egyensúly beálltáig.

3. ábra

Az áram megszünése után az

i

-edik kondenzátor feszültsége:

\begin{matrix} U'_{i} = \frac{Q_{i} - Δ Q}{C_{i}} = U_{i} - \frac{Δ Q}{C_{i}} . \end{matrix}

(4)

Kirchhoff II. törvénye alapján az árammentes körben a feszültségek összege zérus:

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} U'_{i} = 0. \end{matrix}

(4)

alapján ez az egyenlet átalakítható:

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} U_{i} - Δ Q \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{C_{i}} = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} Δ Q = \frac{\sum_{i = 1}^{n} U_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{C_{i}}} = \frac{U_{1} + U_{2} + ... + U_{n}}{\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + ... + \frac{1}{C_{n}}} . \end{matrix}

Esetünkben

n = 2

, tehát

\begin{matrix} Δ Q = \frac{U_{1} + U_{2}}{\frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}}} = C_{1} C_{2} \frac{U_{1} + U_{2}}{C_{1} + C_{2}} . \end{matrix}

Blázsik Zoltán (Csongrád, Batsányi J. Gimn., IV. o. t.)