Kezdőlap


Feladat:	1454. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bene Gyula , Benkő Zsigmond , Kaufmann Zoltán , Tél Tamás
Füzet:	1978/március, 133 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Adiabatikus állapotváltozás, Gázok egyéb állapotváltozása, Egyéb (gázok fajhőjével kapcsolatos), I. főtétel, Ideális gáz állapotegyenlete, Ideális gáz belső energiája (Állapotegyenletek), Függvényvizsgálat differenciálszámítással, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/október: 1454. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az egyszerűség kedvéért tegyük föl, hogy egy mólnyi ideális gázt vizsgálunk, s legyen az állandó térfogat mellett mért mólhő $c_{V}$ .

1. ábra

A folyamatot a

p - V

síkon az 1. ábrán látható grafikon szemlélteti. Ennek megfelelően az állapotváltozás egyenlete

\begin{matrix} p (V) = p_{1} + a (V - V_{1}), V_{1} ≦ V ≦ V_{2} \end{matrix}

(1)

ahol

\begin{matrix} a = \frac{p_{2} - p_{1}}{V_{2} - V_{1}} < 0. \end{matrix}

(2)

Az egyenes minden pontján átmegy egy adiabata, vagyis egy olyan görbe, amely hőfelvétel nélküli folyamatot ír le. Amennyiben az adiabata meredekebben csökken, mint az egyenes, az egyenessel jellemzett változás a szóban forgó pont környezetében hőfelvétellel jár, hiszen adott térfogat-növekedés mellett több munkavégzés történik, mint amennyit a belső energia változása fedezhetne. (Ez utóbbi eset jelenti az adiabatikus változást.) Hőleadás pedig abban a tartományban történik, amelynek pontjaiban az egyenes meredeksége nagyobb a megfelelő adiabatákénál.

2. ábra

E két tartományt olyan pont választja el, ahol a két meredekség egyenlő. Határozzuk meg most ezen pont

V_{0}

koordinátáját! Ideális gáz adiabatájának egyenlete (l. Budó: Kísérleti fizika I.):

\begin{matrix} p = \frac{c}{V^{χ}} \end{matrix}

alakú, ahol

c

állandó,

χ = c_{p} / c_{V}

pedig a két fajhő hányadosa. A

\begin{matrix} c_{p} - c_{V} = R \end{matrix}

összefüggés felhasználásával

\begin{matrix} χ = \frac{c_{p}}{c_{V}} = \frac{R}{c_{V}} + 1. \end{matrix}

(3)

Az adiabata meredeksége

\begin{matrix} - χ \frac{c}{V^{χ + 1}} = - χ \frac{p}{V}, \end{matrix}

az egyenesé pedig

a

. A

V_{0}

pontban e két adat egyenlő, tehát

\begin{matrix} - χ \frac{p (V_{0})}{V_{0}} = a . \end{matrix}

(1) behelyettesítése és rendezés után adódik, hogy

\begin{matrix} V_{0} = \frac{χ}{1 + χ} (V_{1} - \frac{p_{1}}{a}) . \end{matrix}

(2) és (3) fölhasználásával csupa ismert adattal fejezzük ki

V_{0}

-at:

\begin{matrix} V_{0} = \frac{(c_{V} / R) + 1}{(2 c_{V} / R) + 1} \cdot \frac{p_{2} V_{1} - p_{1} V_{2}}{p_{2} - p_{1}} . \end{matrix}

(4)

Ezek után már választ tudunk adni a feladat első kérdésére.
Amennyiben az adatok olyanok, hogy

\begin{matrix} V_{1} < V_{0} < V_{2}, \end{matrix}

(5)

akkor a

(V_{1}, V_{0})

intervallumban hőfelvétel, a

(V_{0}, V_{2})

-ben hőleadás történik. Ha

\begin{matrix} V_{0} < V_{1}, \end{matrix}

(6)

akkor az egész folyamatban hőleadás, a

\begin{matrix} V_{0} > V_{2} \end{matrix}

(7)

esetben pedig hőfelvétel történik.

3. ábra

A következő lépés a fajhő meghatározása. Az 1329. feladatban [KML 52 (1976) 230. old.] ugyanezen folyamat fajhőjét kiszámoltuk (csak ott

a

pozitív volt), ezért itt most egyszerűen idézzük az ottani eredményt (javasoljuk az olvasóknak, hogy tanulmányozzák át a részletes levezetést). A mólhő a folyamat során pontról pontra változik; s amikor a rendszer térfogata

V

, akkor

\begin{matrix} c (V) = c_{V} + R \frac{p_{1} + a (V - V_{1})}{p_{1} + a (2 V - V_{1})} . \end{matrix}

(8)

A (8) összefüggést a 3. ábra szemlélteti, l. a megjegyzést.

II. megoldás. Azt, hogy a folyamat melyik részén történik hőfelvétel, úgy is meghatározhatjuk, hogy megvizsgáljuk, mennyi hőt vesz fel a rendszer a

V

térfogat eléréséig. Ha ismerjük az ezt leíró

Q (V)

függvényt, akkor már meg tudjuk adni a kívánt választ. Tekintsünk ugyanis egy

V

értéket! Ha ennél

Δ V

-vel nagyobb térfogathoz nagyobb hő tartozik, mint a kiindulási, vagyis ha

\begin{matrix} Q (V + Δ V) - Q (V) > 0, \end{matrix}

akkor a

Δ V

szakaszon hőfelvétel történt. A pozitív

Δ V

-vel osztva

\begin{matrix} \frac{Q (V + Δ V) - Q (V)}{Δ V} > 0. \end{matrix}

Ha a térfogatváltozással nullához tartunk, akkor a

Q (V)

függvény differenciálhányadosát nyerjük. Abban a tartományban tehát, ahol a

Q (V)

függvény differenciálhányadosa pozitív, hőfelvétel játszódik le. Hasonlóan kapjuk, hogy a negatív differenciálhányadoshoz hőleadás tartozik. Az eltűnő differenciálhányados a két tartományt elválasztó pontot, tehát

V_{0}

értékét adja meg. Írjuk fel a

Q (V)

függvényt! A

V

térfogat eléréséig végzett munka nagysága a függvénygörbe alatti területtel egyenlő. Az ábra alapján

\begin{matrix} W = - \frac{p_{1} + p}{2} (V - V_{1}) \end{matrix}

(a trapéz területe). A belső energia megváltozása

\begin{matrix} Δ U = c_{V} (T - T_{1}), \end{matrix}

ahol

T_{1} = \frac{p_{1} V_{1}}{R}

T = \frac{p V}{R}

, a kezdő és a közbenső állapot hőmérséklete. Az I. főtétel alapján

\begin{matrix} Q = Δ U - W = \frac{c_{V}}{R} (p V - p_{1} V_{1}) + \frac{p_{1} + p}{2} (V - V_{1}), \end{matrix}

(1) -et behelyettesítve:

\begin{matrix} Q (V) = p_{1} (V - V_{1}) + \frac{a}{2} (V^{2} - 2 V V_{1} + V_{1}^{2}) + \frac{c_{V}}{R} [(p_{1} - a V_{1}) V + a V^{2} - p_{1} V_{1}] . \end{matrix}

Ennek deriváltja:

\begin{matrix} \frac{d Q}{d V} = p_{1} + a (V - V_{1}) + \frac{c_{V}}{R} (p_{1} - a V_{1} + 2 a V) = \\ = (1 + \frac{c_{V}}{R}) (p_{1} - a V_{1}) + (2 \frac{c_{V}}{R} + 1) a V . \end{matrix}

Ez annál a

V_{0}

értéknél válik nullává, amelyre

\begin{matrix} V_{0} = \frac{(c_{V} / R) + 1}{(2 c_{V} / R) + 1} (V_{1} - \frac{p_{1}}{a}), \end{matrix}

(9)

ami megegyezik (4)-gyel. A derivált előjelének vizsgálatával ugyanarra az eredményre jutunk, mint az előző megoldásban.

Bene Gyula (Miskolc, Földes F. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján

III. megoldás. A hőfelvételi és hőleadási tartományokat elválasztó pont az alapján is meghatározható, hogy ott a mólhő előjelet vált úgy, hogy folytonosan megy át pozitívból negatív értékbe, vagy fordítva. (Az 1. megjegyzésben látni fogjuk, hogy előfordulhat nem folytonos előjelváltozás is.) A (8)-ban felírt

c (V)

függvény zérushelyére a következő feltételt kapjuk:

\begin{matrix} c_{V} [p_{1} + a (2 V_{0} - V_{1})] = - R [p_{1} + a (V_{0} - V_{1})] . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} V_{0} = \frac{c_{V} / R) + 1}{2 c_{V} / R) + 1} (V_{1} - \frac{p_{1}}{a}) . \end{matrix}

Megjegyzések. 1. Bene Gyula észrevette, hogy a mólhő (8) kifejezése a

\begin{matrix} V_{c} = (1 / 2) [V_{1} - (p_{1} / a)] \end{matrix}

pontban végtelenné válik. Vizsgáljuk meg ezt a kérdést részletesebben! A

p - V

sík minden egyes pontján átmegy egy izoterma is (2. ábra). Amíg az izomtermák meredekebbek, mint az egyenes, addig balról jobbra haladva (növekvő térfogattal) a rendszer hőmérséklete is nő, utána csökken. A két tartományt az a

V'

pont választja el, melyben az izoterma éppen érinti az egyenest. Határozzuk meg ezt a

V'

mennyiséget! Ehhez először kiszámoljuk, hogy adott hőmérsékletet mely pontban (pontokban) vesz föl a folyamat során az ideális gáz. A

\begin{matrix} p = R T / V \end{matrix}

állapotegyenletet (1)-be helyettesítve

V

-re másodfokú egyenletet kapunk, amelynek megoldása

\begin{matrix} V_{\binom{+}{(-)}} (T) = \frac{V_{1} - (p_{1} / a) \pm \sqrt[]{{[V_{1} - (p_{1} / a)]}^{2} + 4 R T / a}}{2} . \end{matrix}

Esetünkben

a < 0

, így ha van valós megoldás, akkor mindkét megoldás pozitív, csak nem biztos, hogy a

(V_{1}, V_{2})

intervallumon belül. Ha

V_{-}

és

V_{+}

is a vizsgált intervallumon belül van, akkor

V_{-}

jelenti a kisebb,

V_{+}

pedig a nagyobb térfogatértéket (2. ábra).

[

A mólhő (8) kifejezésének precíz levezetését a fenti összefüggés segítségével kell végezni.

]

Az érintési pontban a diszkrimináns eltűnik, tehát

\begin{matrix} V' = (1 / 2) [V_{1} - (p_{1} / a)] = V_{c} . \end{matrix}

V_{c}

pont közvetlen környezetében a rendszer hőmérséklete nem változik, hőközlés azonban történik, hiszen munkavégzés van, s ez mind hővé alakul, így érthető, hogy ez formálisan végtelen nagy fajhő megjelenésében mutatkozik meg. Az is világos, hogy a fajhő előjele itt megváltozik:

V_{c}

, és

V_{0}

összehasonlításából közvetlenül látszik, hogy

V_{c}

mindig kisebb, mint

V_{0}

. Az előzőekben megmutattuk, hogy

V_{0}

-ig hőfelvétel történik. A térfogatot növelve először a hőmérséklet is nő, így a fajhő pozitív lesz.

V_{c}

értékét átlépve azonban a hő továbbra is pozitív, de a hőmérséklet-különbség negatívvá válik, így a fajhő is negatív lesz. Először nagyon nagy érték, s fokozatosan csökken.

V_{0}

után már a felvett hő is előjelet vált, így ismét pozitív fajhőt kapunk. Arra az esetre, amikor a

V_{0}

és

V_{c}

értékek a

(V_{1}, V_{2})

intervallumba esnek, a 3. ábra mutatja a mólhő függését a

V

állapotjelzőtől. A mólhő tehát előjelet vált a

V_{c}

pontban is, de itt végtelen nagy ugrása is van, hiszen a hőmérséklet-változás

V_{c}

körül nulla. Az ilyen típusú előjelváltás azonban nem jelenti azt, hogy a hőfelvétel is előjelet vált, ellenkezőleg, amiatt lép föl, hogy a hőfelvétel előjele változatlan, de a hőmérséklet-különbség előjele megcserélődik.
Annak ellenére, hogy a mólhő

V_{c}

-ben végtelen, a hőfelvétel mégis véges, amit jól mutat az, hogy a

Q (V)

függvény nem válik végtelenné ezen a helyen.
2. Sok megoldó a

V_{c}

pontot tekintette a hőfelvétel előjelváltását leíró adatnak. Ez valószínűleg abból adódik, hogy nem különböztetik meg élesen a hő és hőmérséklet fogalmát. A

V_{c}

pont körül ‐ mint láttuk ‐ hőmérséklet-különbség nem lép fel, de hőátadás igenis van. E két mennyiség tehát csak speciális esetekben arányos egymással, pl. folyadék melegítésekor, de sok más esetben függetlenek. (A magyar nyelvben egyébként az ilyen típusú szópárok két tagjának eltérő értelme van. A hő és hőmérséklet között legalább akkora a különbség, mint a vér és vérmérséklet szavak jelentése között.)
3. A megoldók nagy része úgy akarta kiszámolni a folyamat során közölt hőt, hogy egy izochor és egy izobár folyamat összegét vizsgálta. Sokszor leírtuk már, de álljon itt még egyszer: a hő és a munkavégzés nem állapotjelzők (ismét egy különbség a hő és hőmérséklet között!), ezért nem csak a kezdő és végállapottól függnek.

Tél Tamás