Kezdőlap


Feladat:	1449. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kriza György
Füzet:	1978/február, 90 - 92. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Erőrendszer eredője, Tömegpont egyensúlya, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/szeptember: 1449. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tetraéder szimmetriáiból következik, hogy a megoldáshoz elég a tetraéder egyik csúcsát vizsgálni. Először határozzuk meg, hogy a kiválasztott (az ábrán a $D$ jelű) csúcson elhelyezett töltésre milyen $F_{A}$ , $F_{B}$ , $F_{C}$ erővel hat a másik három csúcson levő töltés!

Coulomb törvényéből az erőhatás nagysága

\begin{matrix} | F_{A} | = | F_{B} | = | F_{C} | = \frac{Q^{2}}{a^{2}} = F, \end{matrix}

a

a tetraéder élhossza. Az erők vektor-összegének kiszámításához válasszunk olyan derékszögű koordináta-rendszert, amelynek

z

tengelye párhuzamos az

O D

magassággal,

x

tengelye pedig a

B C

éllel (l. az ábrát). Ekkor az erők vetületei

\begin{matrix} F_{B x} & = \frac{1}{2} F, & F_{B y} & = - \frac{1}{2 \cdot \sqrt[]{3}} F, & F_{B z} & = \sqrt[]{\frac{2}{3}} F; \\ F_{C x} & = - \frac{1}{2} F, & F_{C y} & = - \frac{1}{2 \sqrt[]{3}} F, & F_{C z} & = \sqrt[]{\frac{2}{3}} F; \\ F_{A x} & = 0, & F_{A y} & = \frac{1}{\sqrt[]{3}} F, & F_{A z} & = \sqrt[]{\frac{2}{3}} F . \end{matrix}

Az előjelek megállapításánál figyelembe vettük, hogy a csúcsokon azonos előjelű töltések vannak. Felhasználtuk, hogy a tetraéder magassága

m = \sqrt[]{\frac{2}{3}} a

.
Elvégezve az összegzést, azt találjuk, hogy az eredő erő a koordinátarendszer

z

tengelyének irányába mutat, nagysága

\begin{matrix} F_{1} = \sqrt[]{6} \cdot \frac{Q^{2}}{a^{2}} . \end{matrix}

Ha a tetraéder súlypontjában

Q'

töltés van, akkor a

D

pontba helyezett töltésre ezen kívül

z

irányú

\begin{matrix} F_{2} = \frac{Q Q'}{r^{2}} \end{matrix}

erő hat, ahol

\begin{matrix} r = m \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \sqrt[]{\frac{2}{3}} a \end{matrix}

a súlypont és a csúcspont távolsága. A két erő akkor egyenlő és ellentétes irányú, ha teljesül a

\begin{matrix} \frac{Q Q'}{r^{2}} = - \sqrt[]{6} \frac{Q^{2}}{a^{2}} \end{matrix}

feltétel. Behelyettesítve a geometriai adatokat, végeredményben

\begin{matrix} Q' = - \frac{3 \sqrt[]{6}}{8} Q, \end{matrix}

függetlenül a tetraéder élhosszától. A negatív előjel jelzi, hogy a súlypontba a csúcson levőkkel ellentétes előjelű töltést kell tenni.

Kriza György (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Megvizsgálhatjuk az egyensúlyi helyzet stabilitását is. Azt kapjuk, hogy az egyensúly labilis, ami összhangban van azzal az általános tétellel, hogy egy csak Coulomb erőkkel kifeszített töltésrendszer mindig labilis egyensúlyi helyzetben van.