|
Feladat: |
1448. fizika feladat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Balogh Elek , Csordás András , Farkas Ferenc [1976-1979] , Frey István , Jankovics Árpád , Kriza György , Szurdoki Julianna |
Füzet: |
1978/február,
89 - 90. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Folyadékhozam, Szabadesés, Harmonikus rezgőmozgás, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1977/szeptember: 1448. fizika feladat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen a csap keresztmetszete , a víz kiáramlási sebessége . A pohárról tegyük fel, hogy henger alakú és a keresztmetszete , továbbá legyen rezgőmozgásának nullpontján a pohár alaplapja távolságra a csaptól. A rezgőmozgást az egyenlet írja le, ahol a függőleges kitérés, az idő, , és állandók.
A csapból idő alatt kifolyó víz mennyisége: Ha elegendően nagy, ennek egy része, , már a pohárba jutott és szintig megtöltötte a poharat. Másik része még a levegőben tartózkodik, hosszúságú keskenyedő vízsugarat alkotva. A vízsugár hossza függ a pohár pillanatnyi helyzetétől az ábráról leolvasható módon: | | (4) | Ha a vízsugár térfogata , akkor az anyagmegmaradás miatt
Az hosszúságú vízsugár térfogatát egyszerű megfontolással számíthatjuk ki. A csapból kezdősebességgel induló vízrészecske az távolságot szabadon esve idő alatt teszi meg:
A fölötte levő vízoszlop térfogata éppen a idő alatt kifolyó víz térfogata, azaz | | (7) | A és egyenletek felhasználásával összefüggést kapunk a vízszint emelkedése és az eltelt idő között: | | (8) | Az egyenletet átrendezve, négyzetre emelve, majd az így nyert másodfokú egyenlet fizikailag reális gyökét megkeresve kapjuk: | | (9) |
A levezetés során az időt a csap kinyitásának pillanatától mérjük. Ha a pohár kitérése ebben a pillanatban , akkor a képletben szereplő fázis értéke: Mindaddig, amíg a vízsugár nem éri el a poharat, a egyenletből -re negatív értéket kapunk. Ezt a tartományt természetesen az üres pohárnak megfelelő függvénnyel kell helyettesítenünk addig az időpontig, amikor a -ből meghatározott nulla nem lesz. Nagyon nagy időkre, amikor a pohárban levő víz felszíne eléri a csapot, a -ből meghatározott képzetes szám lesz. A megoldás során feltételeztük, hogy a pohár lefelé irányuló sebessége mindig kisebb, mint a beérkező vízsugár sebessége, elhanyagoltuk a közegellenállást, valamint a cseppekre bomlás lehetőségét.
Szurdoki Julianna (Bp., Madách I. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján
Megjegyzések. 1. Számos megoldó a vízsugár térfogatának számolásánál a nehezebbik utat választotta: a vízsugár alakjának meghatározása után a térfogatot integrálással számította ki. 2. A pohár feltöltődését a fentitől kissé eltérő gondolatmenettel is ki lehet számítani. A vízsugár pohárhoz viszonyított relatív sebességének és beérkezési keresztmetszetének a szorzata az időegység alatti térfogatváltozást adja. Mivel ez időben változó mennyiség, a térfogat időfüggését ennél a módszernél csak a meglehetősen bonyolult függvény integrálásával lehet megkapni. 3. A legtöbb megoldó egyszerűsítő feltételezésként elhanyagolta a vízszint emelkedését (). Az ilyen, egyébként hibátlan dolgozatok pontot kaptak. |
|