Kezdőlap


Feladat:	1448. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Elek , Csordás András , Farkas Ferenc [1976-1979] , Frey István , Jankovics Árpád , Kriza György , Szurdoki Julianna
Füzet:	1978/február, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Folyadékhozam, Szabadesés, Harmonikus rezgőmozgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/szeptember: 1448. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a csap keresztmetszete $T_{0}$ , a víz kiáramlási sebessége $v_{0}$ . A pohárról tegyük fel, hogy henger alakú és a keresztmetszete $T_{p}$ , továbbá legyen rezgőmozgásának nullpontján a pohár alaplapja $h$ távolságra a csaptól. A rezgőmozgást az

\begin{matrix} y = A sin (ω t + φ) \end{matrix}

(1)

egyenlet írja le, ahol

y

a függőleges kitérés,

t

az idő,

A

ω

és

φ

állandók.

A csapból

t

idő alatt kifolyó víz mennyisége:

\begin{matrix} V = T_{0} v_{0} t . \end{matrix}

(2)

t

elegendően nagy, ennek egy része,

V_{p}

, már a pohárba jutott és

x

szintig megtöltötte a poharat.

\begin{matrix} V_{p} = T_{p} x . \end{matrix}

(3)

Másik része még a levegőben tartózkodik,

L

hosszúságú keskenyedő vízsugarat alkotva. A vízsugár hossza függ a pohár pillanatnyi helyzetétől az ábráról leolvasható módon:

\begin{matrix} L = h - x - y = h - x - A sin (ω t + φ) . \end{matrix}

(4)

Ha a vízsugár térfogata

V (L)

, akkor az anyagmegmaradás miatt

\begin{matrix} V = V_{p} + V (L), \\ T_{0} v_{0} t = T_{p} x + V (L) . & (5) \end{matrix}

L

hosszúságú vízsugár térfogatát egyszerű megfontolással számíthatjuk ki. A csapból

v_{0}

kezdősebességgel induló vízrészecske az

L

távolságot szabadon esve

t^{*}

idő alatt teszi meg:

\begin{matrix} L = v_{0} t^{*} + (1 / 2) g t^{* 2}, \\ t^{*} = \frac{- v_{0} + \sqrt[]{v_{0}^{2} + 2 g L}}{g}, & (6) \end{matrix}

A fölötte levő vízoszlop térfogata éppen a

t^{*}

idő alatt kifolyó víz térfogata, azaz

\begin{matrix} V (L) = T_{0} v_{0} t^{*} = \frac{T_{0} v_{0}}{g} (\sqrt[]{v_{0}^{2} + 2 g L} - v_{0}) . \end{matrix}

(7)

(4)

és

(5)

egyenletek felhasználásával összefüggést kapunk a vízszint emelkedése

(x)

és az eltelt idő között:

\begin{matrix} T_{0} v_{0} t = T_{p} x + \frac{T_{0} v_{0}}{g} (\sqrt[]{[v_{0}^{2} + 2 g h - x - A sin (ω t + φ)]} - v_{0}) . \end{matrix}

(8)

Az egyenletet átrendezve, négyzetre emelve, majd az így nyert másodfokú egyenlet fizikailag reális gyökét megkeresve kapjuk:

\begin{matrix} x = \frac{T_{0}}{T_{p}} v_{0} [t + \frac{v_{0}}{g} (1 - \frac{T_{0}}{T_{p}})] - \end{matrix}

\begin{matrix} - \frac{T_{0} v_{0}}{T_{p} g} \sqrt[]{{(1 - \frac{T_{0}}{T_{p}})}^{2} v_{0}^{2} + 2 g h - 2 \frac{T_{0}}{T_{p}} v_{0} g t - 2 g A sin (ω t + φ)} . \end{matrix}

(9)

A levezetés során az időt a csap kinyitásának pillanatától mérjük. Ha a pohár kitérése ebben a pillanatban

y_{0}

, akkor a képletben szereplő fázis értéke:

\begin{matrix} φ = arc sin \frac{y_{0}}{A} . \end{matrix}

Mindaddig, amíg a vízsugár nem éri el a poharat, a

(9)

egyenletből

x

-re negatív értéket kapunk. Ezt a tartományt természetesen az üres pohárnak megfelelő

x = 0

függvénnyel kell helyettesítenünk addig az időpontig, amikor a

(9)

-ből meghatározott

x

nulla nem lesz. Nagyon nagy időkre, amikor a pohárban levő víz felszíne eléri a csapot, a

(9)

-ből meghatározott

x

képzetes szám lesz.
A megoldás során feltételeztük, hogy a pohár lefelé irányuló sebessége mindig kisebb, mint a beérkező vízsugár sebessége, elhanyagoltuk a közegellenállást, valamint a cseppekre bomlás lehetőségét.

Szurdoki Julianna (Bp., Madách I. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. Számos megoldó a vízsugár térfogatának számolásánál a nehezebbik utat választotta: a vízsugár alakjának meghatározása után a térfogatot integrálással számította ki.
2. A pohár feltöltődését a fentitől kissé eltérő gondolatmenettel is ki lehet számítani. A vízsugár pohárhoz viszonyított relatív sebességének és beérkezési keresztmetszetének a szorzata az időegység alatti térfogatváltozást adja. Mivel ez időben változó mennyiség, a térfogat időfüggését ennél a módszernél csak a meglehetősen bonyolult függvény integrálásával lehet megkapni.
3. A legtöbb megoldó egyszerűsítő feltételezésként elhanyagolta a vízszint emelkedését (

T_{p} ≫ T_{0}

). Az ilyen, egyébként hibátlan dolgozatok

3

pontot kaptak.