Kezdőlap


Feladat:	1447. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czuczor Lajos , Korga György , Seres János , Urbán Attila
Füzet:	1978/február, 87 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/szeptember: 1447. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a felső henger adatait $1$ -es, az alsóét $2$ -es indexszel, a fonál alsó végén lógó testét pedig index nélküli betűkkel. Az alsó test gyorsulása legyen $a$ , a hengerek szöggyorsulása pedig legyen $β_{1}$ , illetve $β_{2}$ . A pozitív irányokat az ábrán megjelöltük.

Az egyes testekre ható erőket szintén feltüntettük az ábrán. A kötél két felében fellépő erő nem feltétlenül egyenlő, hiszen a középső hengeren való körülcsavarásnál súrlódási erő léphet fel a kötél és a henger között.
Az alsó testre két erő hat: a súlyerő és a

K_{2}

kötélerő. A mozgásegyenlet:

\begin{matrix} m a = m g - K_{2} . \end{matrix}

(1)

A fölső hengerre hat a súlyerő, a

K_{1}

kötélerő és a tengely tartóereje. Mivel a henger tömegközéppontja nyugalomban van és a tengely tartóerejét nem akarjuk kiszámítani, elegendő a forgómozgás egyenletét felírni (a henger középpontjára vonatkoztatva):

\begin{matrix} [(1 / 2) m_{1} r_{1}^{2}] \cdot β_{1} = K_{1} r_{1}, \end{matrix}

(2)

ahol a zárójelben levő kifejezés a henger tehetetlenségi nyomatéka.
A másik hengerre is elegendő a forgómozgás egyenletét felírni. Mivel a fonál tömege elhanyagolhatóan kicsi, célszerű a henger köré csavart fonalat a henger részének tekinteni. Ekkor a mozgásegyenlet (vonatkoztatási pont a súlypont, a zárójelben itt is a tehetetlenégi nyomaték szerepel):

\begin{matrix} [(1 / 2) m_{2} r_{2}^{2}] \cdot β_{2} = K_{2} r_{2} - K_{1} r_{2} . \end{matrix}

(3)

A fonál nyújthatatlansága miatt a következő kapcsolat áll fenn

β_{1}

és

a

között:

\begin{matrix} a = r_{1} β_{1} . \end{matrix}

(4)

Öt ismeretlenünk van:

a

β_{1}

β_{2}

K_{1}

K_{2}

. Az utolsó egyenletet a középső hengerre vonatkozó súrlódási vagy kényszerfeltétel adja. Mivel a feladat szövegében nincs megadva súrlódási együttható, két esettel célszerű foglalkozni: a súrlódási együttható a) nulla, b) elég nagy ahhoz, hogy a fonál ne csússzon meg a középső hengeren. Az a) esetben a

\begin{matrix} K_{1} = K_{2} \end{matrix}

(5a)

egyenlet teljesül, a b) esetben pedig az

\begin{matrix} a = r_{2} β_{2} \end{matrix}

(5b)

geometriai kényszerfeltétel, hiszen ekkor a fonál a középső hengerhez tapad.
Az a) esetben az ismeretleneket az (1)‐(4), (5a) egyenletrendszerből kifejezve a következő eredményeket kapjuk:

\begin{matrix} a & = g \frac{2 m}{2 m + m_{1}} = 9, 4 {m/s}^{2}; \\ β_{1} & = \frac{g}{r_{1}} \frac{2 m}{2 m + m_{1}} = 47 s^{- 2}; \\ β_{2} & = 0; \\ K_{1} = K_{2} & = \frac{m m_{1} g}{2 m + m_{1}} = 9, 4 N . \end{matrix}

A b) esetben az (1)‐(4), (5b) egyenletrendszert kell megoldanunk, így nyerjük:

\begin{matrix} a & = g \frac{2 m}{2 m + m_{1} + m_{2}} = 7, 0 {m/s}^{2}; \\ β_{1} & = \frac{g}{r_{1}} \frac{2 m}{2 m + m_{1} + m_{2}} = 35 s^{- 2}; \\ β_{2} & = \frac{g}{r_{2}} \frac{2 m}{2 m + m_{1} + m_{2}} = 11, 7 s^{- 2}; \\ K_{1} & = m_{1} g \frac{m}{2 m + m_{1} + m_{2}} = 7, 0 N; \\ K_{2} & = m g \frac{m_{1} + m_{2}}{2 m + m_{1} + m_{2}} = 70 N; \end{matrix}

Urbán Attila (Tata, Eötvös J. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján