Feladat:	1445. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Sipos István
Füzet:	1978/január, 44 - 46. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/szeptember: 1445. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Számítsuk ki először, hogy mekkora erővel nyomja az emberek vállát a rúd. A rúdra ható erők (1. ábra) a $q$ és $Q$ erők, valamint az $N_1$ és $N_2$ nyomóerők.     1. ábra   Írjuk fel az erők és a rúd jobb oldali végpontjára vonatkoztatott forgatónyomatékok egyensúlyát: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle N_1+N_2-Q-q=0;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle N_1\cdot 5\text{m}-Q\cdot 3\text{m}-q\cdot 2\mathrm{,}5\text{m}=0.}\hfill \end{array}}$ Innen $\begin{array}{c}{\displaystyle N_1=460\text{N}\mathrm{,}{N}_2=340\text{N}\mathrm{.}}\end{array}$ Az első ember így $F_1=G+N_1=1260\text{N}$ erővel, a hátul haladó $F_2=G+N_2=1140\text{N}$-nal nyomja a talajt. Tegyük fel, hogy a hidat $F$ függőleges erővel terheljük, amelynek támadáspontja a híd jobboldali végétől $x$ távolságra van (2. ábra, $l=20\text{m}$ a híd hossza).   2. ábra   A hídra ható erők: $P=200\text{kN}$ a híd önsúlya, $F$ a terhelés, $N_A$ és $N_B$ a pilléreknél fellépő nyomóerők. Az erők és a híd jobboldali végére vonatkoztatott forgatónyomatékok egyensúlya: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle N_A+N_B-P-F=0;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle N_A\cdot l-P\left(l/2\right)-Fx=0.}\hfill \end{array}}$ Innen a nyomóerők: $\begin{array}{c}{\displaystyle N_A=\frac{P}{2}+F\frac{x}{l}\mathrm{,}{N}_B=\frac{P}{2}+F\left(1-\frac{x}{l}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Tegyük fel, hogy a hidat $F$ és $F\text{'}$, függőleges erőkkel terheljük, amelyek támadáspontjai a híd jobboldali végétől $x$ és $x+d$ távolságra vannak (3. ábra, $d=5\text{m}$ a rúd hossza).   3. ábra   Az egyensúlyi egyenletek: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle N_A+N_B-P-F\text{'}-F=0;}\hfill \\ \hfill {\displaystyle N_A\cdot l-P\left(l/2\right)-F\text{'}\left(d+x\right)-Fx=0.}\hfill \end{array}}$ A nyomóerők: $\begin{array}{c}{\displaystyle N_A=\frac{P}{2}+F\text{'}\frac{d+x}{l}+F\frac{x}{l}\mathrm{,}{N}_B=\frac{P}{2}+F\text{'}\left(1-\frac{d+x}{l}\right)+F\left(1-\frac{x}{l}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Térjünk most vissza az eredeti problémánkra! Először csak az egyik ember lép a hídra. A pillérekre ható erőket az (1) megoldás adja meg $F=F_1$ helyettesítéssel (tekintsük nulla időpillanatnak az első ember hídra lépésének idejét, így $x=v\cdot t$): ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle N_A}& {\displaystyle =\frac{P}{2}+F_1\frac{x}{l}=100\text{kN}+63\frac{\text{N}}{\text{s}}\cdot t\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \left(0\le t\le t_1\right)}\hfill \\ \hfill {\displaystyle N_B}& {\displaystyle =\frac{P}{2}+F_1\left(1-\frac{x}{l}\right)=100\text{kN}+1260\text{N}-63\frac{\text{N}}{\text{s}}\cdot t\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Ez a megoldás természetesen csak addig érvényes, amíg a második ember el nem éri a hidat. Ennek időpontja $t_1=d/v=5\text{s}$. Ettől a pillanattól kezdve a (2) megoldás érvényes $F\text{'}=F_1$, $F=F_2$, $x=v\left(t-t_1\right)$ helyettesítéssel: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle N_A}& {\displaystyle =\frac{P}{2}+F_1\frac{d+x}{l}+F_2\frac{x}{l}=100\text{kN}-285\text{N}-120\frac{\text{N}}{\text{s}}\cdot t\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle |\left(t_1\le t\le t_2\right)}\hfill \\ \hfill {\displaystyle N_B}& {\displaystyle =\frac{P}{2}+F_1\left(1-\frac{d+x}{l}\right)+F_2\left(1-\frac{x}{l}\right)=100\text{kN}+2685\text{N}-120\frac{\text{N}}{\text{s}}\cdot t}\hfill \end{array}}$ A $t_2$ időpillanatban az első ember eléri a híd végét: $t_2=l/v=20$ s. Ettől kezdve megint az (1) megoldás érvényes, hiszen már csak egy ember terheli a hidat. Az $F=F_2$, $x=v\left(t-t_2\right)$ helyettesítésekkel: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle N_A}& {\displaystyle =\frac{P}{2}+F_2\frac{x}{l}=100\text{kN}-285\text{N}+57\frac{\text{N}}{\text{s}}\cdot t\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle }\hfill & {\displaystyle \left(t_2\le t\le t_3\right)}\hfill \\ \hfill {\displaystyle N_B}& {\displaystyle =\frac{P}{2}+F_2\left(1-\frac{x}{l}\right)=100\text{kN}+1425\text{N}-57\frac{\text{N}}{\text{s}}\cdot t}\hfill \end{array}}$ A $t_3$ időpillanatban a második ember is elhagyja a hidat: $\begin{array}{c}{\displaystyle t_2=t_1+l/v=25\text{s}\mathrm{.}}\end{array}$ Eredményeinket a 4. ábrán foglaltuk össze.     4. ábra    Sipos István (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.)  dolgozata alapján