Feladat:	1440. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Benkő Zsigmond ,  Fried Miklós ,  Kisvárdai László ,  Kriza György ,  Tóth András ,  Tóth Csaba
Füzet:	1978/január, 39 - 41. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egyéb optikai leképezés, Egyéb fénytörés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/május: 1440. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     I. megoldás. A Fermat‐elv szerint a fény két pont között mindig azon az úton halad, amelynek megtételéhez a legrövidebb idő szükséges. Az $A$ pontról így csak akkor keletkezhet egy $B$ pontban valódi kép, ha az $A$-ból különböző irányokban kiinduló fénysugarak ugyanannyi idő alatt érnek $B$-be, vagyis $B$-ben ismét összegyűlnek (1. ábra). Hasonlítsuk össze az optikai tengelyen és egy attól különböző, vele kis szöget bezáró irányban haladó fénysugárnak az $A$ és $B$ pont közötti út megtételéhez szükséges idejét ($c$ a fény sebessége vákuumban): $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{a}{\left(c/n_1\right)}+\frac{b}{\left(c/n_2\right)}=\frac{t}{\left(c/n_1\right)}+\frac{k}{\left(c/n_2\right)}\mathrm{,}}\end{array}$ azaz $\begin{array}{c}{\displaystyle a{n}_1+b{n}_2=t{n}_1+k{n}_2\mathrm{.}}\end{array}$ (1)     1. ábra       2. ábra   Fejezzük ki $a$-t és $b$-t $t$-vel, $k$-val és $h$-val! Ehhez szükségünk lesz az $x$ távolság ismeretére: $\begin{array}{c}{\displaystyle x=R-\sqrt[]{R^2-h^2}\approx R-R\left[1-\left(h^2/2R^2\right)\right]=h^2/2R\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Itt felhasználtuk, hogy $h\ll R$, tehát érvényes a $\sqrt[]{1+\alpha }=1+\left(\alpha /2\right)$ közelítés. Felhasználva, hogy $x\ll h\ll t$: $\begin{array}{c}{\displaystyle a=\sqrt[]{{\left(t+x\right)}^2+h^2}=t\sqrt[]{1+\left(1/t^2\right)\left(2tx+x^2+h^2\right)}\approx t\left[1+\left(x/t\right)+\left(h^2/2t^2\right)\right]\mathrm{.}}\end{array}$ $x$ értékét (2)-ből beírva $\begin{array}{c}{\displaystyle a=t+\left(h^2/2R\right)+\left(h^2/2t\right)}\end{array}$ (3) és hasonlóan $\begin{array}{c}{\displaystyle b=k-\left(h^2/2R\right)+\left(h^2/2k\right)\mathrm{.}}\end{array}$ (4) (3)-at és (4)-et behelyettesítve (1)-be és rendezve, a rendszer leképezési törvényét kapjuk az optikai tengellyel kis szöget bezáró fénysugarak esetén: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(n_1/t\right)+\left(n_2/k\right)=\left(n_2-n_1\right)R\mathrm{.}}\end{array}$ (5) (A leképezési törvényt valódi kép esetére vezettük le. Belátható, hogy a szokásos előjel konvenció szerint látszólagos kép esetén is alkalmazható.) (5)-ből a képtávolság $\begin{array}{c}{\displaystyle k=\frac{R{n}_2}{\left(n_2-n_1\right)t-n_{1}R}\cdot t}\end{array}$ (6) Valódi kép akkor keletkezik, ha (6) nevezője pozitív, $\begin{array}{c}{\displaystyle n_2>n_1\text{és}t>R\frac{n_1}{n_2-n_1}\mathrm{.}}\end{array}$ (7) A felület két oldalán különböző a fókusztávolság. A bal oldali $f_1$ fókusztávolságot úgy kapjuk meg, hogy (6) felhasználásával megnézzük: $k\to \infty$ esetén mi $t$ határértéke (a fókuszból induló sugarak a határfelületen túl párhuzamosan haladnak), így nyerjük: $\begin{array}{c}{\displaystyle f_1=R\frac{n_1}{n_2-n_1}\mathrm{.}}\end{array}$ A párhuzamosan érkező fénysugarak a jobb oldali fókuszpontban gyűlnek össze. (6) alapján $t\to \infty$ esetén $k$ határértéke: $\begin{array}{c}{\displaystyle f_2=R\frac{n_2}{n_2-n_1}\mathrm{.}}\end{array}$ A (7) feltételek így azt fejezik ki, hogy akkor keletkezik valódi kép, ha a fókusztávolság pozitív (gyűjtőlencse) és a tárgy a fókusztávolságon kívül van.    Tóth Csaba (Sopron, Széchenyi I. Gimn., IV. o. t.)   II. megoldás. A leképezési törvényt a fénytörés törvényét felhasználva is megkaphatjuk. A 2. ábra alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle n_1\text{sin}i=n_2\text{sin}r\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Kis szögek esetén a szög ívmértékben vett értéke, sinusa és tangense megegyezik, így ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle n_1\cdot i=n_2\cdot r\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle i=\alpha +\phi \text{és}r=\phi -\beta \mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ ahol $\begin{array}{c}{\displaystyle \alpha =h/t\mathrm{,}\beta =h/k\text{és}\phi =h/r\mathrm{.}}\end{array}$ Ezeket az összefüggéseket (2)-be beírva és rendezve az $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(n_1/t\right)+\left(n_2/k\right)=\left(n_2-n_l\right)R}\end{array}$ (3) leképezési törvényt kapjuk.    Benkő Zsigmond (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.)