Feladat: 1440. fizika feladat Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Benkő Zsigmond ,  Fried Miklós ,  Kisvárdai László ,  Kriza György ,  Tóth András ,  Tóth Csaba 
Füzet: 1978/január, 39 - 41. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyéb optikai leképezés, Egyéb fénytörés, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/május: 1440. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 




 
I. megoldás. A Fermat‐elv szerint a fény két pont között mindig azon az úton halad, amelynek megtételéhez a legrövidebb idő szükséges. Az A pontról így csak akkor keletkezhet egy B pontban valódi kép, ha az A-ból különböző irányokban kiinduló fénysugarak ugyanannyi idő alatt érnek B-be, vagyis B-ben ismét összegyűlnek (1. ábra). Hasonlítsuk össze az optikai tengelyen és egy attól különböző, vele kis szöget bezáró irányban haladó fénysugárnak az A és B pont közötti út megtételéhez szükséges idejét (c a fény sebessége vákuumban):
a(c/n1)+b(c/n2)=t(c/n1)+k(c/n2),
azaz
an1+bn2=tn1+kn2.(1)

 



 

1. ábra

 

 



 

2. ábra

 


Fejezzük ki a-t és b-t t-vel, k-val és h-val! Ehhez szükségünk lesz az x távolság ismeretére:
x=R-R2-h2R-R[1-(h2/2R2)]=h2/2R.(2)
Itt felhasználtuk, hogy hR, tehát érvényes a 1+α=1+(α/2) közelítés. Felhasználva, hogy xht:
a=(t+x)2+h2=t1+(1/t2)(2tx+x2+h2)t[1+(x/t)+(h2/2t2)].
x értékét (2)-ből beírva
a=t+(h2/2R)+(h2/2t)(3)
és hasonlóan
b=k-(h2/2R)+(h2/2k).(4)
(3)-at és (4)-et behelyettesítve (1)-be és rendezve, a rendszer leképezési törvényét kapjuk az optikai tengellyel kis szöget bezáró fénysugarak esetén:
(n1/t)+(n2/k)=(n2-n1)R.(5)
(A leképezési törvényt valódi kép esetére vezettük le. Belátható, hogy a szokásos előjel konvenció szerint látszólagos kép esetén is alkalmazható.)
(5)-ből a képtávolság
k=Rn2(n2-n1)t-n1Rt(6)
Valódi kép akkor keletkezik, ha (6) nevezője pozitív,
n2>n1ést>Rn1n2-n1.(7)

A felület két oldalán különböző a fókusztávolság. A bal oldali f1 fókusztávolságot úgy kapjuk meg, hogy (6) felhasználásával megnézzük: k esetén mi t határértéke (a fókuszból induló sugarak a határfelületen túl párhuzamosan haladnak), így nyerjük:
f1=Rn1n2-n1.
A párhuzamosan érkező fénysugarak a jobb oldali fókuszpontban gyűlnek össze. (6) alapján t esetén k határértéke:
f2=Rn2n2-n1.
A (7) feltételek így azt fejezik ki, hogy akkor keletkezik valódi kép, ha a fókusztávolság pozitív (gyűjtőlencse) és a tárgy a fókusztávolságon kívül van.
 

 Tóth Csaba (Sopron, Széchenyi I. Gimn., IV. o. t.)
 

II. megoldás. A leképezési törvényt a fénytörés törvényét felhasználva is megkaphatjuk. A 2. ábra alapján
n1sini=n2sinr.(1)
Kis szögek esetén a szög ívmértékben vett értéke, sinusa és tangense megegyezik, így
n1i=n2r.(2)i=α+φésr=φ-β,


ahol
α=h/t,β=h/késφ=h/r.

Ezeket az összefüggéseket (2)-be beírva és rendezve az
(n1/t)+(n2/k)=(n2-nl)R(3)
leképezési törvényt kapjuk.
 

 Benkő Zsigmond (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.)