Kezdőlap


Feladat:	1438. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Elek , Benkő Tibor , Benkő Zsigmond , Blázsik Zoltán , Farkas Ferenc , Frey István , Gémesi Gyula , János Mihály , Kaufmann Zoltán , Kókai László , Masa István , Németh Róbert , Neumer Attila , Szénássy Zsolt
Füzet:	1978/január, 36 - 38. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tömegpont egyensúlya, Állandó térfogaton mért fajhő, Állandó nyomáson mért fajhő, Egyéb munka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/május: 1438. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az emelőszerkezetet az elektromos fűtőtest működteti, ezért a hatásfok definíciójában az ,,összes munka'' a fűtőtest által végzett munkát jelenti. Ellenállásokon az elektromos munka teljesen hővé alakul, így jogosan írhatjuk, hogy

\begin{matrix} η = \frac{W_{hasznos}}{Q}, \end{matrix}

ahol

Q

az egész folyamat során a gázzal közölt hő,

W_{hasznos}

pedig az

M

tömegű tehát

h

magasságba emeléséhez szükséges

M g h

munka. A továbbiakban

Q

-t kell még meghatároznunk. Ehhez vizsgáljuk meg, milyen állapotváltozáson megy keresztül a gáz!

A hőmérséklet növelésekor kezdetben még nem emelkedik föl a dugattyú, a folyamat tehát izochor. Meddig tart mindez? A dugattyú egyensúlyának feltétele

\begin{matrix} p A = p_{0} A + (M + M_{0}) g + F_{s}, \end{matrix}

ahol

A

az alaplap területe, s feltettük, hogy a külső légnyomás is

p_{0}

F_{s}

a dugattyúra ható súrlódási erő, amely tapadó súrlódásból származik, amíg elmozdulás nem történik.

F_{s}

ellenkező irányú, mint a

p A

erő. A mozgás akkor indul meg, amikor a tapadó súrlódási erő eléri (ill. meghaladja) a maximumát. Föl kell tételeznünk, hogy

F_{s max}

és a feladatban szereplő

S

csúszó súrlódási erő közelítőleg megegyezik. Abban az esetben ugyanis, ha

F_{s max}

nagyobb

S

-nél, a dugattyú egyenletes gyorsulással kezd mozogni, amely előbb‐utóbb oda vezet, hogy az általunk tanult termodinamika ‐ mely csak kvázistacionárius folyamatok leírására alkalmas ‐ nem használható.
Az izochor melegedés tehát addig tart, amíg a nyomás a

\begin{matrix} p_{1} = p_{0} + \frac{(M_{0} + M) g + S}{A} \end{matrix}

értéket el nem éri. Az ennek megfelelő hőmérséklet az egyesített gáztörvényből (a levegőt ideális gáznak tekintjük)

\begin{matrix} T_{1} = T_{0} (P_{1} / p_{0}) . \end{matrix}

A dugattyú ettől kezdve egyenletesen emelkedik, ami azt jelenti, hogy a gáz nyomása állandó:

p_{1}

. Abban az állapotban, amikor a dugattyú a kívánt

h

magasságba került, a hőmérséklet:

\begin{matrix} T_{2} = T_{1} (h / h_{0}) = T_{0} (P_{1} / p_{0}) \cdot (h / h_{0}) . \end{matrix}

A közölt hő számolásakor az első esetben tehát a

c_{V}

, a második esetben pedig a

c_{p}

fajhőt kell használnunk:

\begin{matrix} Q = c_{V} m (T_{1} - T_{0}) + c_{p} m (T_{2} - T_{1}) . \end{matrix}

A gáz

m

tömegét a kezdeti adatok között fennálló

\begin{matrix} p_{0} h_{0} A = \frac{m}{M_{lev}} R T_{0} \end{matrix}

állapotegyenletből határozhatjuk meg (

M_{lev}

a levegő átlagos molekulasúlya).
Mindezeket behelyettesítve:

\begin{matrix} η = \frac{M g h}{\frac{M_{lev}}{R} {c_{V} [(M + M_{0}) g h_{0} + S h_{0}] + c_{p} [(M + M_{0}) g + S + A p_{0} (h - h_{0})]}} \end{matrix}

Masa István (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., III. o. t.)
dolgozata alapján

Megjegyzések. 1. A feladatban nemcsak a tartályt, hanem a dugattyút is jó hőszigetelőnek tekintettük. Ellenkező esetben nem lenne igaz, hogy az elektromos munkával egyenértékű hő adódik át a gáznak. Másrészt viszont nem vettük figyelembe, hogy a súrlódáskor keletkező hő (vagy annak egy része) átadódhat a dugattyúban levő levegőnek.

2. Melegítéskor a levegő tágulása miatt annak súlypontja is feljebb kerül. Az emelési munkához szükséges hőt is az elektromos melegítőnek kell fedeznie. Ez az energia azonban jóval kisebb, mint

Q

, így jogosan hanyagoltuk el.

3. A

Q

hőt az I. főtétel alapján is meghatározhatjuk:

\begin{matrix} Δ U = Q + W_{külső} . \end{matrix}

A külső erők: a

p_{0} A

légnyomás, az

(M + M_{0}) g

súlyerő és az

S

súrlódási erő mind negatív munkát végeznek:

\begin{matrix} - W_{külső} = (p_{0} A + (M + M_{0}) g + S) (n - n_{0}) . \end{matrix}

A belső energia megváltozása

\begin{matrix} Δ U = c_{V} m (T_{2} - T_{0}) . \end{matrix}

Ezzel

\begin{matrix} Q = c_{V} m [1 + \frac{(M + M_{0}) g + S}{p_{0} A}] \frac{h}{h_{0}} T_{0} + [p_{0} A + (M + M_{0}) g + S] (h - h_{0}); \end{matrix}

Az ideális gázok fajhői között fennálló

\begin{matrix} c_{p} - c_{V} = R / M^{*} \end{matrix}

összefüggés felhasználásával (

M^{*}

a molekulasúly) könnyen megmutatható, hogy a megoldásban kapott hő a fenti alakra hozható.

Németh Róbert (Győr, Révai M. Gimn., III. o. t.)

4. Az izobár változás leírásakor sokan

c_{p} m Δ T

-t tekintették belső energiaváltozásnak. Ez az okoskodás hibás! Többször szerepelt már lapunkban is, de ismét hangsúlyozzuk: az ideális gáz belső energiája adott hőmérsékleten:

\begin{matrix} U = c_{V} m T . \end{matrix}

U

állapotjelző, független attól a folyamattól, ahogyan odajutott a rendszer. Tehát izobár változáskor is

\begin{matrix} Δ U = c_{V} m Δ T . \end{matrix}