Feladat: 1432. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Sas Viktor 
Füzet: 1977/december, 233 - 235. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): A szem, Gyűjtőlencse, Vastag lencse, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/április: 1432. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szemünk akkor tud megkülönböztetni két pontot, ha a róluk a szembe érkező fénysugarak legalább φ0 szöget zárnak be egymással. Ha a tiszta látás távolságában egymástól T távolságra levő két pontot tudunk megkülönböztetni, akkor

φ0=T/Lt.(1)
Nézzük most ezt a két pontot egy egyszerű nagyítón keresztül (1. ábra).
 

 

1. ábra
 

Ekkor a két pont látószöge
φ=Kl-t-k.(2)
A felbontóképesség javulását N*=φ/φ0 jellemzi. Felhasználva, hogy
KT=-ktés1t+1k=1f,N*=fLtt2-tl+fl(3)


Azt kell vizsgálnunk, hogy milyen t és l értékek esetén lesz N* a legnagyobb. Rögzített l esetén N* akkor maximális, ha nevezője minimális, tehát ha
t=l/2.(4)
t<l/2 esetén N* monoton nő, t>l/2 esetén pedig N* monoton csökken.
N* minimumát csak olyan t, l értékek körében keressük, amelyek eleget tesznek az alábbi feltételeknek. A lencsét egyszerű nagyítóként használjuk, tehát
t<f;(5)
a lencsét legfeljebb közvetlenül a szemünkig közelíthetjük, tehát
t≤l;(6)
csak a tiszta látás távolságánál messzebb keletkező képet látjuk élesen, tehát
l-t-k≥Lt,
a leképezési törvényt felhasználva és rendezve az egyenlőtlenséget
l≥Lt-t2f-t.(7)

A 2. ábrán vonalkázással jelöltük a t-l sík azon pontjait, amelyek az (5), (6) és (7) feltételeknek megfelelnek.
 

 

2. ábra
 

Berajzoltuk az N* maximumát jellemző 4 egyenest és annak az 5 egyenessel és 7 görbével alkotott A, B metszéspontjait is. Azt kell megvizsgálnunk, hogy különböző l-ek esetén t milyen megengedett értékénél lesz N* maximális, és mekkora ez a maximum (azok a t értékek megengedettek, amelyek eleget tesznek az (5), (6), (7) feltételeknek). A rövidség kedvéért numerikusan számolunk f=7,5cm és Lt=15cm esetén.
a) Vizsgáljuk először az l>2f=15cm esetet. A vonalkázott területnek az l>2f feltételt kielégítő részén a 4 egyenes kívül halad. Mivel rögzített l mellett N* a (4)-beli maximumtól távolodva monoton csökken, az l/2-höz legközelebbi t-vel kell számolnunk. Tehát rögzített l>2f esetén N* annál nagyobb, minél közelebb van t az f értékhez, vagyis ekkor t≲f=7,5cm. (A ≲ jel itt azt jelenti, hogy t a lencsehibák által megengedett legnagyobb mértékben megközelíti f-et, de (5)-nek megfelelően nem érheti el. Ekkor
Nmax*≲Lt/f=2,
l-től függetlenül. Ebbe a tartományba esik az l1=75cm eset.
b) Tegyük fel, hogy l az A és B pontok l-koordinátái közé esik. Ebben az esetben N* maximumát a 4 egyenes megfelelő pontja adja. (3)-ban t helyére (4)-ből l/2-t helyettesítve
Nmax*=fLtl(f-l/4).

Nézzük meg, hogy a szóban forgó l értékek közül melyikre lesz ez az érték a legnagyobb. A nevező pozitív, deriváltja f-l/2>0 ebben a tartományban, tehát l csökkentésével N* nő. Értéke a feladatban adott l2=10cm helyen
Nmax*(l=10cm)=2,25,
a B pontban (B koordinátái: l≈8,8cm, t≈4,4cm):
Nmax*(l=8,8cm)=2,4.

c) l-et tovább csökkentve rögzített l mellett a 7 görbén lesz N* maximális, ekkor
Nmax*=ff-t.
l csökkentésével a maximumot adó t nő, így N* maximuma is nő. A C pontban 6 és 7 metszéspontjaként l=5cm és t=5cm adódik, ekkor
Nmax*(l=5cm)=3.

Az elérhető legnagyobb felbontás tehát l csökkentésével monoton nő, akkor a legnagyobb, ha a nagyítólencsét közvetlenül a szemünk elé helyezzük és a tárgy 5cm-re van.
 

  Sas Viktor (Székesfehérvár, József A. Gimn., III. o. t.) dolgozatának felhasználásával