Kezdőlap


Feladat:	1430. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Móricz Attila , Szabó László
Füzet:	1977/december, 229 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb mozgás lejtőn, Tapadó súrlódás, Csúszó súrlódás, Munkatétel, Rugalmas energia, Rugalmas erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/április: 1430. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A lejtőre helyezett testre a $G = m g$ súlyerő, a lejtő $N$ merőleges nyomóereje, a $K$ rugóerő és az $S$ súrlódási erő hat. Egyensúlyi helyzetben ezek eredője nulla.
A lejtőre merőleges komponensek egyenlőségéből

\begin{matrix} N = m g \end{matrix}

(1)

A lejtőirányú komponensekre vonatkozó egyenlet:

\begin{matrix} m g sin α - K = S, \end{matrix}

(2)

ahol a

\begin{matrix} K = k x \end{matrix}

(3)

rugóerő a rugó megnyúlásakor az 1. ábrán feltüntetett irányba mutat.

1. ábra

A (2) és (3) egyenletekből következik, hogy az

\begin{matrix} x_{0} = (m g / k) sin α \end{matrix}

(4)

egyensúlyi helyzethez nulla súrlódási erő tartozik. A rugó kevésbé megfeszített állapotában a súrlódási erő a rugóerővel megegyező irányú (1.a ábra), míg az

x > x_{0}

esetben előjelet vált (1.b ábra). A súrlódási erő abszolút értékének maximális értéke

μ N

, azaz a test abban a tartományban lehet nyugalomban, ahol

\begin{matrix} - μ N \leq S \leq μ N . \end{matrix}

(5)

A (2) és (5) egyenletekből:

\begin{matrix} - μ N \leq m g \end{matrix}

(1) és (3) alapján

\begin{matrix} - μ m g \end{matrix}

ahonnan az egyensúlyi tartomány:

\begin{matrix} (m g / k) (sin α - μ cos α) \leq x \leq (m g / k) (sin α + μ cos α) . \end{matrix}

(6)

A megadott értékekkel:

\begin{matrix} 6, 4 cm \leq x \leq 13,2 cm . \end{matrix}

(7)

A (6) egyenlőtlenség bal oldalát megvizsgálva látszik, hogy ‐ ha

μ > tg α

‐,

x

negatív értéket is felvehet. A

μ = tg α

az a súrlódási együttható érték, amelynél már nincs szükség a rugó húzóerejére ahhoz, hogy a test nyugalomban maradjon. Ennél nagyobb súrlódásnál a súrlódási erő a rugó nyomóerejét is kompenzálni tudja (2. ábra).

2. ábra

A rugó megnyújtatlan állapotából elengedett test addig csúszik, amíg mozgási energiája nulla nem lesz. Ekkor helyzeti energiájának megváltozása egyrészt a súrlódási erő ellen végzett munkára fordítódik, másrészt a rugó energiáját növeli.

x

úton történő elmozdulásnál a helyzeti energia csökkenése:

\begin{matrix} Δ E_{h} = m g x \end{matrix}

a rugóenergia növekedése

\begin{matrix} Δ E_{r} = (1 / 2) k x^{2}, \end{matrix}

a mozgás közben állandó

S = μ N = μ m g cos α

súrlódási erő ellen végzett munka:

\begin{matrix} Δ W = x μ m g cos α . \end{matrix}

Az energiamegmaradás törvénye szerint:

\begin{matrix} Δ E_{h} = Δ E_{r} + Δ W, & (8) \\ x (m g \end{matrix}