Kezdőlap


Feladat:	1426. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blázsik Zoltán , Frey István , Kisvárdai László , Kókai László , Köteles Zoltán
Füzet:	1977/december, 227 - 228. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kondenzátorok kapcsolása, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Elektromos töltés megmaradása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/március: 1426. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kondenzátorrendszer teljes energiája

\begin{matrix} W = (1 / 2) Q^{2} / C_{e}, \end{matrix}

(1)

ahol

C_{e}

a rendszer

A

és

B

pont közötti eredő kapacitása. Határozzuk meg az eredő kapacitást!
Vegyük észre, hogy mivel a teljes külső vezető keret földpotenciálon van, a kondenzátorrendszer a négyzet átlóira szimmetrikus (1. ábra).

1. ábra

Ekkor a

C

pontban (és a vele ekvivalens pontokban) levő összekötést elvághatjuk, hiszen a szimmetria miatt a

C

pont két ,,felének'' potenciálja azonos marad. Így a kondenzátorrendszer négy párhuzamosan kapcsolt részre esik szét (2. ábra), melyek kapacitása könnyen meghatározható.

2. ábra

A három párhuzamosan kapcsolt ág eredő kapacitása

\begin{matrix} (1 / 2) C + C + (1 / 2) C = 2 C, \end{matrix}

ehhez még egy

C

kapacitású kondenzátor van sorba kapcsolva, tehát egy ág kapacitása

\begin{matrix} \frac{1}{[1 / (2 C)] + (1 / C)} = \frac{2}{3} C . \end{matrix}

Négy ilyen párhuzamos ág van, tehát

\begin{matrix} C_{e} = (8 / 3) C = (8 / 3) \cdot 10^{- 6} F, \end{matrix}

a rendszer teljes energiája (1)-ből

\begin{matrix} W = (3 / 16) Q^{2} / C = (3 / 16) 10^{- 6} J . \end{matrix}

Köteles Zoltán (Bp., I. László Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. A kondenzátorrendszer szimmetriája miatt csak négyféle különböző töltésű kondenzátor jöhet létre (3. ábra).

3. ábra

A

ponthoz csatlakozó négy kondenzátoron az

A

-ra vitt töltés egyenletesen oszlik el, ezek töltése tehát

Q / 4

.
A

0

pontban összekapcsolt fegyverzeteken csak megosztással jöhet létre töltés, így

\begin{matrix} - (Q / 4) + 2 Q_{1} + Q_{3} = 0. \end{matrix}

(1)

Hasonlóan a

C

pontra

\begin{matrix} - 2 Q_{1} + 2 Q_{2} = 0. \end{matrix}

(2)

B D C B

hurokban a feszültségesések összege

0

, így

\begin{matrix} (Q_{1} / C) + (Q_{2} / C) - (Q_{3} / C) = 0. \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és (3) egyenletből

\begin{matrix} Q_{1} = Q / 16, Q_{2} = Q / 16 és Q_{3} = Q / 8. \end{matrix}

A rendszerben

4

Q / 4

8

Q_{1}

8

Q_{2}

és

4

Q_{3}

töltésű kondenzátor van, a rendszer teljes energiája az egyes kondenzátorok energiájának összege:

\begin{matrix} W = 4 \cdot \frac{1}{2} \frac{{(Q / 4)}^{2}}{C} + 8 \cdot \frac{1}{2} \frac{Q_{1}^{2}}{C} + 8 \cdot \frac{1}{2} \frac{Q_{2}^{2}}{C} + 4 \cdot \frac{1}{2} \frac{Q_{3}^{2}}{C} = \frac{3}{16} \frac{Q^{2}}{C} . \end{matrix}

Frey István (Pécs, Zipernovszky K. Szakközépiek., III. o. t)