Kezdőlap


Feladat:	1410. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Backhausz László , Bányász István , Frey István , Fried Miklós , Gajdócsi Sándor , Kriza György , Maróti Péter , Neumer Attila , Samu Péter , Slezák Tamás , Szalontai László , Székely Zoltán , Tóth András , Tóth Csaba , Vankó Péter
Füzet:	1977/szeptember, 41 - 43. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb tehetetlenségi nyomaték, Becslési feladatok, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/január: 1410. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A test tömege a térfogatából és a sűrűségéből meghatározható:

\begin{matrix} m = \frac{4 π}{3} (r^{3} - r_{0}^{3}) ϱ, \end{matrix}

(1)

ahol

r_{0}

az üreg sugarát,

ϱ

a gömb anyagának sűrűségét jelöli. A gömb középpontján áthaladó tengelyek közül az üreg középpontján áthaladó tengelyre nézve lesz maximális a tehetetlenségi nyomaték:

\begin{matrix} Θ = \frac{8 π}{15} (r^{5} - r_{0}^{5}) ϱ . \end{matrix}

(2)

Osszuk el egymással a két egyenletet és rendezzük a tagokat

r_{0}

hatványai szerint:

\begin{matrix} r_{0}^{5} - \frac{5 Θ}{2 m} \cdot r_{0}^{3} + r^{3} (\frac{5 Θ}{2 m} - r^{2}) = 0. \end{matrix}

(3)

Ez az ötödfokú egyenlet a fizikailag szóba jöhető

0 < r_{0} < 5 cm

intervallumban egy gyökkel rendelkezik, amely két tizedesjegynyi pontossággal

r_{0} = 3, 86 cm

. Erről legegyszerűbben a (3) egyenlet bal oldalának grafikus ábrázolásával győződhetünk meg. A test sűrűségét

r_{0}

imént kapott értékének az (1) egyenletbe történő helyettesítése után számíthatjuk ki:

ϱ = 3, 54 {g/cm}^{3}

.
A sűrűségmeghatározás pontosságának megbecsülése érdekében írjuk fel az (1) és a (2) egyenletek felhasználásával, hogy

r, r_{0}

és

ϱ

kicsiny változása esetén mennyit változik

m

, illetve

Θ

\begin{matrix} \frac{3}{4 π} \cdot Δ m = 3 r^{2} ϱ \cdot Δ r - 3 r_{0}^{2} ϱ \cdot Δ r_{0} + (r^{3} - r_{0}^{3}) Δ ϱ, \end{matrix}

(4)

\begin{matrix} \frac{15}{8 π} \cdot Δ Θ = 5 r^{4} ϱ Δ r - 5 r_{0}^{4} ϱ \cdot Δ r_{0} + (r^{5} - r_{0}^{5}) Δ ϱ . \end{matrix}

(5)

Ebből a két egyenletből

Δ r_{0}

kiküszöbölésével

Δ ϱ

kifejezhető:

\begin{matrix} Δ ϱ = \frac{\frac{15}{4 π} r_{0}^{2} \cdot Δ m - \frac{45}{8 π} \cdot Δ Θ + 15 r^{2} ϱ (r^{2} - r_{0}^{2}) Δ r}{5 r^{3} r_{0}^{2} - 3 r^{5} - 2 r_{0}^{5}} . \end{matrix}

(6)

Az egyes mennyiségek változásait azok mérésének abszolút hibáival azonosíthatjuk:

Δ m = \pm 0, 005 g

Δ Θ = \pm 5 {g cm}^{2}

és

Δ r = \pm 0, 005 cm

. A (6) egyenlet számlálójában álló egyes tagok numerikus értékei:

\begin{matrix} \frac{15}{4 π} r_{0}^{2} \cdot Δ m = \pm 0, 089 {g cm}^{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} \frac{45}{8 π} \cdot Δ Θ = \pm 8, 96 {g cm}^{2} . \end{matrix}

\begin{matrix} 15 r^{2} ϱ (r^{2} - r_{0}^{2}) Δ r = \pm 66, 3 {g cm}^{2} . \end{matrix}

Látható, hogy a sűrűségmérés hibáját elsősorban a külső gömb sugarának mérési hibája határozza meg, a tömegmérés akár 100-szor nagyobb hibával is történhetett volna.
Célszerű a sűrűség maximális hibáját megadni. A (6) egyenletben a számláló tagjainak előjeleit alkalmasan megválasztva:

{(Δ ϱ)}_{max} = 0, 04 {g/cm}^{3}

. A gömb anyagának sűrűsége:

ϱ = (3, 54 \pm 0, 04) {g/cm}^{3}

Maróti Péter