Feladat: 1407. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Frey István ,  Kaufmann Zoltán ,  Miskolci Lénárd 
Füzet: 1977/október, 89 - 92. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/január: 1407. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyensúly feltétele, hogy a testre ható erők és forgatónyomatékok vektori összege nulla legyen.

 

 

Az erők egyensúlyából (l. az ábrát):
G-N1-S2=0,(1)N2-S1=0;(2)
az O pontra vonatkozó forgatónyomatékok egyensúlya:
S2acosα+N2asinα-G(a/2)sin(45∘-α)=0,
amelyet átalakítva a
(G/2)(1-tgα)=N2tgα+S2(3)
egyenlethez jutunk.
A súrlódási erőkre érvényes kényszerfeltételek:
|S1|≤μ1N1,(4)
és
|S2|≤μ2N2.(5)
a) A továbbiakban megvizsgáljuk, milyen α szögek mellett valósulhat meg egyensúly. Ez nem jelenti azt, hogy ilyen szögekre szükségképpen egyensúly áll fenn, hiszen a kocka esetleg lehelyezhető oly módon is ‐ az éleit megfelelően beszorítva ‐, hogy felboruljon.
Először az 0∘≤α≤45∘ esetet vizsgáljuk. α=45∘ mellett fennállhat ‐ labilis ‐ egyensúly, ha a fal és a kocka között nem hat erő; α-t csökkentve a kocka egyszer megcsúszik.
Mindaddig, amíg S1 és S2 közül legalább az egyik nem éri el a maximális értéket, addig a kocka nem csúszik meg; határesetben S1 és S2 is maximális értékű.

Mivel N2≥0MMa fal ugyanis csak nyomhatja a kockát ‐, azért (2) alapján
S1≥0,
|S1| tehát akkor maximális, ha
S1=μ1N1.(4*)
|S2| maximális, ha
S2=μ2N2,(5*)
vagy
S2=-μ2N2.(5**)
Mindkét esetben egy-egy α értékhez jutunk (α1ésα2) a következő átalakításokkal:
(5*) alapján S2-t ‐ N2-vel kifejezve ‐ behelyettesítjük a (3) egyenletbe. (4*)-ot és (5*)-ot az (1) és (2) egyenletekbe helyettesítjük, és N2-t kifejezzük. Ezt a kifejezést (3)-ba beírva átrendezés után a
tgα1=1-μ1μ21+2μ1+μ1μ2
összefüggéshez jutunk. Hasonlóképpen (5**) felhasználásával a
tgα2=1+μ1μ21+2μ1-μ1μ2
kifejezést kapjuk.
Mivel azt a legkisebb α határszöget keressük, amelyre még megvalósulhat egyensúly, azért a keresett szög α1 és α2 közül a kisebbik, tehát α1 lesz.
A feladat számadataival:
tgα1=0,6901,α1=34∘37'.
Ha tehát α≤45∘, akkor az egyensúly feltétele:
34∘37'≤α≤45∘,
és a triviális eset: α=0∘.
Tekintsünk az α>45∘ esetet. A forgatónyomaték egyenlete ekkor:
S2acosα+N2asinα+G(a/2)sin(α-45∘)=0,
amelyet átalakítva az
S2=-N2tgα-Gsin(α-45∘)2cosα(6)
egyenlethez jutunk.
S2 nem lehet kisebb, mint (-μ2N2), ez a feltétel azonban a feladat számadatai mellett α>45∘ esetén a (6) alapján számított S2 értékre nem teljesülhet. Ezért α>45∘ esetén nem lehet egyensúly.
Végeredményben tehát az egyensúly a
34∘37'≤α≤45∘ésα=0∘
szögekre állhat fenn.
b) Adott α mellett ‐ amely az egyensúlyi határok közé esik ‐ a feladat sztatikailag határozatlan, mert az (1), (2) és (3) egyenletek négy ismeretlent tartalmaznak. A (4) és (5) egyenlőtlenségek felhasználásával azonban szűkebb korlátokat is megadhatunk a kockára ható erőkre.
Nézzük meg, milyen N1, N2, S1, S2 értékek tesznek eleget az (1)‐(3) egyenleteknek és a (4), (5) egyenlőtlenségeknek. Először tegyük fel, hogy N1, N2, S1, S2 kielégítik ezeket a feltételeket. Ekkor (1), (2), (3) alapján
N2=S1,(7)S2=(G/2)(1-tgα)-S1tgα,(8)N1=G-S2=(G/2)(1+tgα)+S1tgα.(9)


Ezért (4), (5) folytán S1-re teljesülniük kell az alábbi egyenlőtlenségeknek:
|S1|≤μ1[(G/2)(1+tgα)+S1tgα],(10)|(G/2)(1-tgα)-S1tgα|≤μ2S1.(11)


Tekintve, hogy az előbbiek szerint csak az α≤45∘, vagyis a tgα≤1 esettel kell foglalkoznunk, azért a (11) egyenlőtlenség megoldása:
G2⋅ctgα-11+μ2ctgα≤S1≤G2-ctgα-11-μ2ctgα.(12)
Továbbá a (10) egyenlőtlenség S1≥0 feltételnek eleget tevő megoldása:
0≤S1≤μ1G2⋅1+tgα1-μ1tgα.(13)
A (12) és (13) egyenlőtlenségeknek együttesen az alábbi S1 értékek tesznek eleget:
G2⋅ctgα-11+μ2ctgα≤S1≤G2min{ctgα-11-μ2ctgα;μ11+tgα1-μ1tgα}.(14)

Másrészt könnyen beláthatjuk, hogy ha S1 a (14) egyenlőtlenségeknek eleget tesz, akkor teljesülnek a (10), (11) egyenlőtlenségek, s így a (7)‐(9) alapján számított N2, S2, N1, valamint a (14)-nek eleget tevő S1 kielégítik az (1)‐(3) egyenleteket és a (4), (5) egyenlőtlenségeket.
A feladat számadatai mellett (14) a következő alakú:
2,31N≤S1≤2,94N.(15)
Ebből a (7)‐(9) előállítások figyelembevételével az N1, N2, S2 értékekre az alábbi korlátozást nyerjük:
26,77N≤N1≤27,29N,(16)2,31N≤N2≤2,94N,(17)-0,29N≤S2≤0,23N.(18)

 Frey István (Pécs, Zipernovszky K. Szakközépisk., III. o. t.)