Kezdőlap


Feladat:	1405. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bene Gyula , Benkő Zsigmond , Csiszár Csaba , Csordás András , Czuczor Lajos , Farkas Éva , Kaufmann Zoltán , Mechler Ferenc , Mike János , Pacher Tibor , Pakai Tibor , Somorjai Dezső
Füzet:	1977/szeptember, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tökéletesen rugalmas ütközések, Impulzusmegmaradás törvénye, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/január: 1405. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az 1. ábra mutatja a golyók helyzetét az ütközés pillanatában olyan koordináta-rendszerben, amelyben az érintkező felületek merőlegesek az $x$ -tengelyre. $v_{1}$ és $v_{2}$ jelöli a golyók ütközés előtti, $u_{1}$ és $u_{2}$ az ütközés utáni sebességét.

1. ábra

Feltételezve, hogy a golyók közötti súrlódás elhanyagolható, a golyókra ható erők

x

-irányúak, ezért az

y

-irányú impulzus mindkét golyónál külön‐külön megmarad, azaz

\begin{matrix} u_{1 y} = v_{1 y}, u_{2 y} = v_{2 y}, \end{matrix}

(1)

mivel a tömegek ugyanakkorák. Az

x

-irányú impulzusokra a rendszer teljes impulzusának megmaradása miatt a következő összefüggés igaz:

\begin{matrix} v_{1 x} + v_{2 x} = u_{1 x} + u_{2 x} . \end{matrix}

(2)

Az acélgolyók ütközése rugalmas, ezért az energia megmaradásának felhasználásával egy további összefüggést írhatunk fel:

\begin{matrix} v_{1 x}^{2} + v_{1 y}^{2} + v_{2 x}^{2} + v_{2 y}^{2} = u_{1 x}^{2} + u_{1 y}^{2} + u_{2 x}^{2} + u_{2 y}^{2} . \end{matrix}

(3)

Az (1), (2) és (3) egyenletek felhasználásával az ütközés utáni sebességek

x

komponense:

\begin{matrix} u_{1 x} = v_{2 x}; u_{2 x} = v_{1 x} . \end{matrix}

(4)

Ha a gyorsabb golyó sebességét

v_{1}

jelölte, akkor ezen golyó sebessége az ütközés után nagyobb lesz, ha

| u_{1 x} | > | v_{1 x} |

, mivel a sebesség

y

komponense változatlan maradt. Ez a feltétel tetszőleges nagyságú

v_{1}

és

v_{2}

sebességek esetén teljesíthető, ha a második golyó alkalmas helyen érinti az első golyót. Maximális az energiaátadás, ha az ütközés után a második golyó megáll, azaz

u_{2 x} = u_{2 y} = 0.

A képletekből leolvasható, hogy ez az eset akkor valósul meg, ha a két golyó sebessége merőleges egymásra, és ezenkívül az ütközés pillanatában a golyók középpontját összekötő egyenes merőleges

v_{1}

- re.

Czuczor Lajos (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. A feladat kérdésére egyszerű megfontolással is válaszolhatunk. A 2. ábra mutatja a

v_{1}

sebességű golyót és az

F

erőt, amellyel a szaggatott körrel jelölt másik golyó meglöki azt. (Feltételezzük, hogy a golyók közötti súrlódás elhanyagolható.)

2. ábra

F

erő függetlenül a testek sebességétől, merőleges a felületre. Ez az erő gyorsítja az első golyót, azaz az első golyó ütközés utáni sebessége olyan

u

sebességgel lesz nagyobb, ami párhuzamos

F

-fel.

u

nagyságától függetlenül állíthatjuk, hogy az

u + v_{1}

végsebesség nagyobb lesz

v_{1}

-nél, ha

u

és

v_{1}

által bezárt szög kisebb 90

°

-nál. Másképpen mondva, a gyorsabb golyó sebessége tovább növekedhet az ütközés során, ha a másik golyó a ,,hátsó" félgömb egy pontjában érinti azt.

Kaufmann Zoltán (Vác, Sztáron S. Gimn., II. o. t.)