Kezdőlap


Feladat:	1402. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Backhausz László , Főglein György , Fried Miklós , Gajdócsi Sándor , Kalcsú Zoltán , Kálvin Sándor , Kántor József , Takács László , Tóth András , Wolf László
Füzet:	1977/szeptember, 36 - 37. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nyomóerő, kötélerő, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/december: 1402. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Nyugvó koordináta-rendszerben írjuk le a mozgást. Rajzoljuk föl két egymás utáni pillanatban a golyó sebességösszetevőit (l. az ábrát).

A feladat szövege szerint a fonál úgy nyúlik, hogy az indulás utáni időpontban a fonál hossza (

r_{0}

és

v_{0}

állandók):

\begin{matrix} r = r_{0} + v_{0} \cdot t . \end{matrix}

Ebből következik, hogy a sugárirányú

v_{n}

sebesség nagysága állandó:

v_{n 1} = v_{n 2} = v_{0} .

A kerületi sebesség a szögsebesség és a sugár szorzata, ezért:

\begin{matrix} v_{t 1} = r_{1} ω = (r_{0} + v_{0} t_{1}) ω; \end{matrix}

\begin{matrix} v_{t 2} = r_{2} ω = (r_{0} + v_{0} t_{2}) ω . \end{matrix}

Itt fölhasználtuk azt is, hogy a szögsebesség állandó. Ennek másik következménye az, hogy

\begin{matrix} Δ φ = ω (t_{2} - t_{1}) = ω Δ t . \end{matrix}

Ezek után felírhatjuk az

x

és

y

irányú teljes sebességváltozásokat:

\begin{matrix} Δ v_{x} = v_{n 2} cos (Δ φ) - v_{n 1} - v_{t 2} sin (Δ φ); \end{matrix}

\begin{matrix} Δ v_{y} = v_{t 2} cos (Δ φ) - v_{t 1} - v_{n 2} sin (Δ φ) . \end{matrix}

Ahhoz, hogy a különböző irányú gyorsulásokat megállapíthassuk,

Δ v / Δ t

hányadosokat kell képeznünk kis

Δ t

-k mellett. Ekkor

Δ φ

is kicsi. Mivel

\begin{matrix} sin (Δ φ) \approx Δ φ és cos (Δ φ) \approx 1, ha (Δ φ) ≪ 1, \end{matrix}

azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} Δ v_{x} \approx v_{n 2} - v_{n 1} - v_{t 2} \cdot Δ φ, \end{matrix}

\begin{matrix} Δ v_{y} \approx v_{t 2} - v_{t 1} - v_{n 2} \cdot Δ φ . \end{matrix}

v_{n}, v_{t}

és

Δ φ

kifejezését behelyettesítve:

\begin{matrix} Δ v_{x} \approx - (r_{0} + v_{0} t_{1}) ω^{2} Δ t; \end{matrix}

\begin{matrix} Δ v_{y} \approx 2 v_{0} ω \cdot Δ t . \end{matrix}

Ebből leolvassuk, hogy a

t_{1}

időpontban a cső irányú gyorsulás

\begin{matrix} a_{n} = - (r_{0} + v_{0} t_{1}) ω^{2} = - r_{1} ω^{2}, \end{matrix}

a jól ismert centripetális gyorsulás. Ezt a golyóra ható egyetlen ilyen irányú erő, a kötél

K

kényszerereje biztosíthatja csak:

\begin{matrix} K = m r_{1} ω^{2} . \end{matrix}

Tetszőleges

t

időpontban

\begin{matrix} K (t) = m (r_{0} + v_{0} t) ω^{2} . \end{matrix}

A kötélerő tehát lineárisan nő időben. A csőre merőleges irányú gyorsulás állandó:

\begin{matrix} a_{t} = 2 v_{0} ω . \end{matrix}

Ezt a cső falán ható erő hozza létre; ebből következik, hogy

\begin{matrix} F_{n} = 2 m v_{0} ω \end{matrix}

nagyságú állandó erővel nyomja a golyó a csövet.

Kalcsú Zoltán (Szolnok, Verseghy F. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzések. 1.

F_{n}

értékét más módon is meghatározhatjuk. Írjuk fel a golyóra a forgómozgás alapegyenletét a forgástengelyre vonatkoztatva!

\begin{matrix} M = Δ N / Δ t . \end{matrix}

K

kötélerőnek nincs a forgástengelyre nézve forgatónyomatéka, hiszen az erő karja

0

. Így

M = F_{n} \cdot r_{1} .

N

impulzusnyomaték kifejezés pontszerű testre:

\begin{matrix} N = m r v = m r^{2} ω . \end{matrix}

Így

\begin{matrix} F_{n} \cdot r_{1} = \frac{m ω (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})}{Δ t} . \end{matrix}

Δ t

elég kicsi,

r_{2}

és

r_{1}

csak keveset tér el egymástól, tehát

\begin{matrix} r_{2}^{2} - r_{1}^{2} (r_{2} - r_{1}) (r_{2} + r_{1}) \approx 2 Δ r \cdot r_{1} . \end{matrix}

Ezzel

\begin{matrix} F_{n} r_{1} \approx m ω 2 r_{1} \cdot \frac{Δ r}{Δ t} = m ω 2 r_{1} v_{0}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} F_{n} = 2 m v_{0} ω . \end{matrix}

2. A golyó súlyának figyelembevétele csak annyi változást jelent, hogy a vízszintes irányú

F_{n}

-en kívül hat még a függőleges súlyerő is. Az eredő nyomóerő nagysága tehát

\begin{matrix} F'_{n} = \sqrt[]{{(m g)}^{2} + F_{n}^{2}} . \end{matrix}

3. A feladat megoldható forgó koordináta-rendszerben is.

4. Sok megoldó nem vette figyelembe, hogy annak ellenére, hogy

v_{n}

nagysága állandó, iránya változik, és ez is járulékot ad a tangenciális gyorsuláshoz. Így

F_{n}

-re

m v_{0} ω

adódott.