Kezdőlap


Feladat:	1400. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Frey István
Füzet:	1977/május, 234 - 236. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/december: 1400. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A rúdra az ábra szerint hat az $m g$ súlyerő, az $F$ kötélirányú kötélerő, a talaj $N$ nyomóereje és valamílyen $S$ súrlódó erő, amelyre igaz, hogy

\begin{matrix} S \leq μ N . \end{matrix}

(1)

Amíg a rúd talajon nyugvó vége nem mozdul el, fennáll a rúd és a kötél vízszintessel bezárt szöge között a következő összefüggés:

\begin{matrix} tg β = \frac{h - l sin α}{l (1 - cos α)} . \end{matrix}

(2)

A rúd nyugalomban van, míg a rá ható erők eredője, valamint az eredő nyomaték nulla:

\begin{matrix} m g = N + F sin β, & (3) \\ S = F cos β . & (4) \end{matrix}

A nyomatékokat a kötél és a rúd közös pontjára felírva:

\begin{matrix} \frac{m g l cos α}{2} - N l cos α - S l sin α = 0. \end{matrix}

(5)

Az egyenletek nyilván csak addig érvényesek, amíg a rúd és a kötél nem esik egy egyenesbe, azaz míg

tg α \leq h / l

.
Nézzük meg azt a pillanatot, amikor a rúd még épp nem csúszik meg. Ekkor az (1) összefüggésben egyenlőségjel szerepel.
Ezzel felírtuk a feladat megoldásához szükséges összes egyenletet, de az egyenletrendszert csak numerikus vagy grafikus módszerrel tudjuk megoldani. Nézzük most a sok lehetőség egyikét.
A (3) egyenletet átrendezve és (4)-gyel osztva kapjuk:

\begin{matrix} tg β = \frac{m g - N}{S} . \end{matrix}

(6)

Az (5) egyenletből (1) felhasználásával adódik:

\begin{matrix} (1 / 2) m g / N - 1 - μ tg α = 0. \end{matrix}

Ebből kifejezzük

m g / N

-et, beírjuk (6)-ba, és ezt (2)-vel összehasonlítva kapjuk a következő egyenletet:

\begin{matrix} \frac{(h / l) - sin α}{1 - cos α} = \frac{1}{μ} (1 + 2 μ tg α) . \end{matrix}

Átrendezve, felhasználva a

cos α = \sqrt[]{1 - sin^{2} α}

összefüggést, négyzetre emelve és újra rendezve kapjuk a következő egyenletet:

\begin{matrix} (μ^{2} + 1) sin^{4} α + 2 μ (μ \frac{h}{l} + 1) sin^{3} α + (3 μ^{2} + μ^{2} \frac{h^{2}}{l^{2}} - \frac{2 μ h}{l} - 1) sin^{2} α - \\ - 2 μ (μ \frac{h}{l} + 1) sin α + \frac{μ h}{l} (\frac{μ h}{l} - 2) = 0. \end{matrix}

Beírva a numerikus adatokat, próbálgatással a következő gyököt találjuk a minket érdeklő

0 \leq sin α \leq \sqrt[]{\frac{4}{5}}

intervallumban:

\begin{matrix} sin α = 0, 6147. \end{matrix}

Így már a

β

szöget is megkapjuk (2)-ből, ezután pedig a feladatban kérdezett adatokat is megkaphatjuk. A kötélerőre az (1), (3), (4) egyenletekből a következő összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} F = \frac{μ m g}{μ sin β + cos β} . \end{matrix}

A megcsúszás pillanatában tehát ‐ a numerikus megoldás eredményét felhasználva:

\begin{matrix} F = 0, 574 m g . \end{matrix}

Az ábráról a csigán még át nem húzott kötél hosszára a következő összefüggést olvashatjuk le:

\begin{matrix} a = \frac{h - l sin α}{sin β} . \end{matrix}

Így a csigán áthúzott kötél hossza

30 cm

-nek adódik.

Frey István (Pécs, Zipernovszky K. Szakközépisk., III. o. t.)