Kezdőlap


Feladat:	1396. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Biri Sándor , Görög Tibor , Kutenics Ferenc , Szalontai László , Székely Zoltán , Tóth Csaba
Füzet:	1977/május, 230 - 231. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Ohm-törvény, Kirchhoff-törvények, Ellenállások kapcsolása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/november: 1396. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyes mérésekből az alábbi egyenletek írhatók fel az Ohm törvény alapján:

\begin{matrix} U & = 0, 015 A \cdot (R_{1} + R_{2}), & (1) \\ U & = 0, 010 A \cdot (R_{1} + R_{3}), & (2) \\ U & = 0, 006 A \cdot (R_{2} + R_{4}), & (3) \\ U & = 0, 005 A \cdot (R_{3} + R_{4}), & (4) \\ U = 0, 0205 A & \cdot (\frac{R_{1} R_{4}}{R_{1} + R_{4}} + \frac{R_{2} R_{3}}{R_{2} + R_{3}}) . & (5) \end{matrix}

Könnyen meggyőződhetünk arról, hogy az (1) és a (4) egyenlet összeadásával és a (2) egyenlet felhasználásával a (3) egyenletet kapjuk vissza. Így az öt egyenlet közül csak négy független, ezért pl. a (3) egyenletet elhagyhatjuk.
Fejezzük ki

R_{1}

és

U

segítségével (1)-ből

R_{2}

-t, (2)-ből

R_{3}

-at, (4)-ből

R_{4}

-et, és helyettesítsük (5)-be ezeket az értékeket. Rendezés után az

R_{1} / U = x

arányra. az alábbi másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 71, 7 A^{2} x^{2} - 6830 A x + 146 500 = 0. \end{matrix}

x

-re két pozitív gyököt kapunk:

x_{1} = 62, 8 A^{- 1}

és

x_{2} = 32, 7 A^{- 1}

. Az (1), (2) és (4) egyenletekbe történő visszahelyettesítés után a négy ellenállás értékét a telepfeszültség függvényében tudjuk csak megadni:

\begin{matrix} \begin{matrix} R_{1} = 62, 8 A^{- 1} \cdot U \\ R_{2} = 3, 9 A^{- 1} \cdot U \\ R_{3} = 33, 2 A^{- 1} \cdot U \\ R_{4} = 162, 8 A^{- 1} \cdot U \end{matrix} vagy \begin{matrix} R_{1} = 32, 7 A^{- 1} \cdot U \\ R_{2} = 34, 0 A^{- 1} \cdot U \\ R_{3} = 67, 3 A^{- 1} \cdot U & (6a-b) \\ R_{4} = 132, 7 A^{- 1} \cdot U . \end{matrix} \end{matrix}

1 - 3 - K

2 - 4 - L

kapcsolásra vonatkozóan az egyes ágakban folyó áramokat az ábrán tüntettük fel.

Két csomóponti egyenletet és három hurokegyenletet írhatunk fel:

\begin{matrix} i_{3} & = i_{1} - i_{x}, \\ i_{4} & = i_{2} - i_{x}, \\ U & = R_{1} i_{1} + R_{3} i_{3}, \\ R_{1} i_{1} & = R_{4} i_{4}, \\ R_{3} i_{3} & = R_{2} i_{2} . \end{matrix}

Ez a lineáris egyenletrendszer az ismeretlen

i_{x}

-re egyszerű számolással megoldható:

\begin{matrix} i_{x} = \frac{R_{1} R_{2} - R_{3} R_{4}}{R_{1} R_{4} (R_{2} + R_{3}) + R_{2} R_{3} (R_{1} + R_{4})} \cdot U . \end{matrix}

(7)

Az áramerősségmérő két értéket mutathat attól függően, hogy (7)-be az ellenállások (6 a) vagy (6 b) alatt megadott kifejezéseit írjuk. A műszer vagy

12, 6 mA

vagy

9, 6 mA

áramerősséget jelez.

Szalontai László (Törökszentmiklós, Bercsényi M. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján