Kezdőlap


Feladat:	1391. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bakó Tamás , Benkő Zsigmond , Csordás András , Czuczor Lajos , Hajdú Csaba , Korga György , Melcher Ferenc , Regényi Péter , Szabó László , Szegedy Márió , Trócsányi Zoltán
Füzet:	1977/április, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/november: 1391. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az akadály elég alacsony, akkor a vízszintessel $45^{\circ}$ -os szöget bezáró kilövési iránnyal érhetjük el a minimális kezdősebességet, amelynek értéke az ismert összefüggés szerint

\begin{matrix} v_{0} = \sqrt[]{g (a + b)} . \end{matrix}

Válasszuk derékszögű koordináta‐rendszerünk origójának a kilövés helyét,

x

tengelye mutasson a céltárgy felé vízszintesen,

y

tengelye pedig mutasson függőlegesen fölfelé. A lövedék pályaegyenlete általános esetben

\begin{matrix} y = x \cdot tg α - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2} cos^{2} α}, \end{matrix}

ahol

α

v_{0}

kezdősebesség irányának a vízszintessel bezárt szöge. Annak a feltétele, hogy a fal ne akadályozza a

45^{\circ}

-os szögben kilőtt lövedéket:

\begin{matrix} h ≦ a \cdot tg 45^{\circ} - g a^{2} / (2 v_{0}^{2} cos^{2} 45^{\circ}) = a b / (a b / b) . \end{matrix}

Vizsgáljuk a

h > a b / (a + b)

esetet! A minimális kezdősebességű pályának az akadály felső részénél kell elhaladnia, ugyanis ellenkező esetben a sebesség kis csökkentésével és a (

45^{\circ}

-tól eltérő) szög megfelelő kis változtatásával ismét célba találnánk még mindig nem érintve az akadályt, tehát a kezdősebesség nem lenne minimális.

A pálya így áthalad az

(a; h)

, illetve az

(a + b; 0)

koordinátájú pontokon:

\begin{matrix} h = a \cdot tg α - g a^{2} / (2 v_{0}^{2} \cdot cos^{2} α); \\ 0 = (a + b) \cdot tg α - g {(a + b)}^{2} / (2 v_{0}^{2} \cdot cos^{2} α) . \end{matrix}

Ebből a két egyenletből a minimális kezdősebességhez tartozó indítási szögre

\begin{matrix} tg α = h (a + b) / a b, \end{matrix}

a kezdősebességre

\begin{matrix} v_{0} = \sqrt[]{\frac{g a b}{2 h} [1 + {(h \frac{a + b}{a b})}^{2}]} \end{matrix}

adódik.
Eredményeinket összefoglalva a

v_{0}

minimális kezdősebesség és az ehhez tartozó

α

kilövési irány:

h ≦ a b / (a + b)

esetén

v_{0} = \sqrt[]{g (a + b)}

;

α = 45^{\circ}

h ≧ a b / (a + b)

esetén

v_{0} = \sqrt[]{\frac{g a b}{2 h} [1 + {(h \frac{a + b}{a b})}^{2}}]

;

α = arc tg h \frac{(a + b}{a b}

Szabó László (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.) dolgozata alapján