Kezdőlap


Feladat:	1387. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bene Gyula , Biró Gyöngyvér , Fried Miklós , Horváth László , Jászai Gyula , Kertay Zoltán , Kisvárdai László , Kókai László
Füzet:	1977/március, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-törvény, Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Tömegpont egyensúlya, Másodfokú függvények, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/október: 1387. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A parabola fókusztávolsága $f = 1 / (4 a) = 10^{- 2} m = 1 cm$ . A golyó helyét a parabolapályán annak $x$ koordinátája határozza meg. Rajzoljuk meg $Q_{2}$ helyén a parabola érintőjét, ekkor az ábrán $α$ -val jelölt szögek egyenlők.

Az egyensúly feltétele, hogy a testre ható Coulomb‐erő, gravitációs erő és a pályára merőleges nyomóerő eredője zérus legyen, azaz az erők érintő irányú összetevőire teljesüljön:

\begin{matrix} m g cos α = \frac{k Q_{1} Q_{2}}{x^{2} + {(a x^{2} - f)}^{2}} cos α . \end{matrix}

Az egyenlet triviális megoldása a

cos α = 0, α = 90^{\circ}

, amikor a töltés a parabola csúcsában van. A parabola csúcsában a test labilis egyensúlyi helyzetben van. A

cos α \neq 0

esetben a keresett

x

értéket egy másodfokú egyenlet megoldásával kaphatjuk meg. A numerikus adatok behelyettesítése után

x = \pm 4 cm

adódik. Ez a két egyensúlyi helyzet stabil.

Horváth László (Celldömölk, Berzsenyi D. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. A golyó stabil egyensúlyi helyzetét a potenciális energia minimumából meghatározhatjuk. Kihasználva, hogy a parabola azon pontok mértani helye, amelyek a fókuszponttól és az

y = - f

egyenestől egyenlő (

r

) távolságra vannak, a potenciális energia a következő alakban írható fel:

\begin{matrix} E = m g (r - f) + \frac{k Q_{1} Q_{2}}{r}, \end{matrix}

ahol

r

a golyó távolsága a fókuszponttól. A potenciális energia olyan

r

érték esetén lehet minimális, ahol

\begin{matrix} \frac{d E}{d r} = m g - \frac{k Q_{1} Q_{2}}{r^{2}} = 0. \end{matrix}

A numerikus értékek felhasználásával

r = 5 cm

adódik, ami megfelel az

x = \pm 4 cm

-es helyzetnek. Könnyű belátni, hogy ebben a pontban

\begin{matrix} \frac{d^{2} E}{d r^{2}} > 0, \end{matrix}

tehát az energiának itt lokális minimuma van. Ebből következik, hogy ez az egyensúlyi helyzet stabil.

Kertay Zoltán (Budapest, Petőfi S. Gimn., IV. o. t.)