Feladat:	1379. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kisvárdai László
Füzet:	1977/február, 91 - 92. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Kirchhoff-törvények, Áram hőhatása (Joule-hő), Ellenállások kapcsolása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/szeptember: 1379. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.     A feladatot legegyszerűbben úgy oldhatjuk meg, hogy a szuperpozíció elvét alkalmazzuk. Az ún. lineáris elemekből (egyszerű ellenállások, kondenzátorok, tekercsek és telepek) felépített hálózatok számításánál érvényes tétel szerint a telepek hatása különválasztható; a hálózat bármely ágában folyó áram összeg alakjában írható: $\begin{array}{c}{\displaystyle I=I_1+I_2+I_3+\text{...}}\end{array}$ ahol $I_i$ az $i$-edik telep által keltett áram, ha az összes többi telep elektromotoros erejét nullának vesszük. Ez az elv a Kirchoff-törvények következménye. Határozzuk meg először az egyes telepek helyén folyó áramot akkor, ha csak az egyik telep elektromotoros ereje nem nulla !     1. ábra   Ha az ekvipotenciális pontokat összekötjük, akkor a kocka hálózat síkban kiterített képe alapján (1. ábra) megállapíthatjuk, hogy az eredő ellenállás (2. ábra):     2. ábra   $\begin{array}{c}{\displaystyle R_e=R+2\cdot \left(R/2\right)+\frac{\left(R/2\right)\cdot 2R}{\left(R/2\right)+2R}=\frac{12}{5}R\mathrm{.}}\end{array}$ A telepen átfolyó áram: $\begin{array}{c}{\displaystyle I_A=\left(5/12\right)\left(U/R\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az 1. ábrán $B$ és $C$ betűvel jelöltük a másik két telep helyét. Az ott folyó áram meghatározásához a 2. ábra alapján először számítsuk ki, hogy mekkora áram folyik a ${}^{*}$-gal jelölt ellenálláson ! A három párhuzamos ágban folyó áram nagysága fordítottan arányos az ágak ellenállásával és összegük $\left(5/12\right)\left(U/R\right)$. Ebből $\begin{array}{c}{\displaystyle I^{*}=\left(1/12\right)\cdot \left(U/R\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Az 1. ábráról látható, hogy ez az áram szimmetrikusan két részre oszlik: $\begin{array}{c}{\displaystyle I_B=I_C=\left(1/24\right)\cdot \left(U/R\right)\mathrm{.}}\end{array}$ Ha mindhárom telepet bekapcsoljuk, akkor a telepeken átfolyó áram az egyes telepek által keltett áramok előjeles összege: ${\displaystyle \begin{array}{c}\hfill {\displaystyle I_1=I_A-I_B+I_C=\left(5/12\right)\cdot \left(U/R\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle I_2=I_A+I_B-I_C=\left(5/12\right)\cdot \left(U/R\right)\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle I_3=I_A-I_B-I_C=\left(4/12\right)\cdot \left(U/R\right)\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az ellenálláshálózatot fűtő teljesítmény a telepek áramának és feszültségének szorzatából számítható: $\begin{array}{c}{\displaystyle P=P_1+P_2+P_3=U\cdot \left(5/12\right)\left(U/R\right)+U\cdot \left(5/12\right)\left(U/R\right)+U\cdot \left(4/12\right)\left(U/R\right)=\left(7/6\right)U^2/R\mathrm{.}}\end{array}$     Kisvárdai László (Csongrád, Batsányi J. Gimn., IV. o. t.)   Megjegyzések. 1. A feladat megoldható közvetlenül a Kirchhoff-törvények alkalmazásával is. Ekkor 12 ismeretlenes egyenletrendszert kell vizsgálni, de az egyenletek felírása egyszerű, a gondolatmenetben nincsenek kerülő utak. 2. A telepek polaritása az $I_A\mathrm{,}{I}_B\mathrm{,}{I}_C$ áramok előjelét határozza meg. A megfelelő előjel választásával az 1364. feladat megoldását is megkaphatjuk.