Kezdőlap


Feladat:	1371. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Ambrus András , Faragó Béla , Köteles Zoltán , Lájer Konrád , Szolek András , Tornóci László
Füzet:	1976/december, 236 - 238. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Stefan--Boltzmann-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/május: 1371. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az izzó test hőmérsékleti sugárzás formájában energiát bocsát ki magából. Reflektorok híján ezt a test környezete (jelen esetben a fal) veszi föl. A teljes környezet fajhője azonban rendszerint olyan nagy, hogy az energia felvétele nem változtatja meg észrevehetően a környezet hőmérsékletét. Ugyanakkor természetesen a fal is sugároz, s ennek egy része az izzó testre jut, amely így energiát vesz fel. A teljes energiaveszteség ezen két hatás eredője.
A feladat nem adja meg az izzó test és a fal alakját, amelyektől pedig jelentősen függ a veszteség, hiszen például ez határozza meg, hogy a fal sugárzásának hányadrészét nyeli el az izzó test. Az egyszerűség kedvéért tegyük fel, hogy az izzó test és a fal koncentrikus gömbök, felületük $A$ , ill. $A_{0}$ , hőmérsékletük $T$ , ill. $T_{0}$ . Az izzó test ebben az esetben a fal által kisugárzott összes energiát felveszi. A Stefan‐Boltzmann‐törvény szerint a felületegységen kisugárzott teljesítmény $σ T^{4}$ , a teljes teljesítményveszteség így

\begin{matrix} W_{0} = σ (A T^{4} - A_{0} T_{0}^{4}) . \end{matrix}

A falhoz hasonlóan a reflektorokról is tegyük föl, hogy az előbbiekkel koncentrikus gömbök, felületük

A_{1}

, ill.

A_{2}

. A reflektorok fajhője nem túl nagy, így viszonylag gyorsan fölveszik az egyensúlyi hőmérsékletet, amelyet az határoz meg, hogy az egyik oldalon felvett összes teljesítmény azonos a másik oldalon leadottal. Egy reflektor esetén a

T_{1}

hőmérsékletet megadó egyenlet:

\begin{matrix} σ (A T^{4} - A_{1} T_{1}^{4}) = σ (A_{1} T_{1}^{4} - A_{0} T_{0}^{4}), \end{matrix}

Az egész levezetés során nagyon lényeges, hogy föltesszük: a belül levő felület a rajta kívül levő felület összes kisugárzott energiáját felveszi (koncentrikus gömbök). A fenti egyenletből:

\begin{matrix} T_{1}^{4} = \frac{A T^{4} + A_{0} T_{0}^{4}}{2 A_{1}}, \end{matrix}

A teljesítményveszteség egy reflektor esetén:

\begin{matrix} W_{1} = σ (A T^{4} - A_{1} T_{1}^{4}) = σ (A_{1} T_{1}^{4} - A_{0} T_{0}^{4}) = (1 / 2) σ (A T^{4} - A_{0} T_{0}^{4}) = (1 / 2) W_{0}, \end{matrix}

tehát az előbbi érték felére csökkent.
Két reflektor esetén a reflektorok

T_{1}

és

T_{2}

hőmérsékletét meghatározó egyenletrendszer:

\begin{matrix} σ (A T^{4} - A_{1} T_{1}^{4}) & = σ (A_{1} T_{1}^{4} - A_{2} T_{2}^{4}), \\ σ (A_{1} T_{1}^{4} - A_{2} T_{2}^{4}) & = σ (A_{2} T_{2}^{4} - A_{0} T_{0}^{4}) . \end{matrix}

Ebből:

\begin{matrix} T_{1}^{4} = \frac{2 A T^{4} + A_{0} T_{0}^{4}}{3 A_{1}}, T_{2}^{4} = \frac{A T^{4} + 2 A_{0} T_{0}^{4}}{3 A_{2}} . \end{matrix}

A teljesítményveszteség:

\begin{matrix} W_{2} = σ (A T^{4} - A_{1} T_{1}^{4}) = (1 / 3) σ (A T^{4} - A_{0} T_{0}^{4}) = (1 / 3) W_{0}, \end{matrix}

két reflektor esetén tehát az eredeti érték harmadrészére csökken.

Lájer Konrád (Tapolca, Batsányi J. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A feladat könnyen általánosítható

n

reflektor esetére. Ekkor a megoldandó egyenletrendszer

\begin{matrix} \begin{matrix} 1) & A T^{4} - A_{1} T_{1}^{4} = A_{1} T_{1}^{4} - A_{2} T_{3}^{4} & , \\ \dot{\dot{,}} \\ \dot{\dot{,}} \\ \dot{\dot{,}} \\ k - 1) & A_{k - 2} T_{k - 2}^{4} - A_{k - 1} T_{k - 1}^{4} = A_{k - 1} T_{k - 1}^{4} - A_{k} T_{k}^{4} & , \\ k) & A_{k - 1} T_{k - 1}^{4} - A_{k} T_{k}^{4} = A_{k} T_{k}^{4} - A_{k + 1} T_{k + 1}^{4}, \\ \dot{\dot{,}} \\ \dot{\dot{,}} \\ \dot{\dot{,}} \\ n) & A_{n - 1} T_{n - 1}^{4} - A_{n} T_{n}^{4} = A_{n} T_{n}^{4} - A_{0} T_{0}^{4} . \end{matrix} \end{matrix}

Vegyük észre, hogy az összes egyenlet jobb és bal oldalán ugyanaz a mennyiség szerepel. Ezért az első

(k - 1)

egyenletet összeadva:

\begin{matrix} A T^{4} - A_{k - 1} T_{k - 1}^{4} = (k - 1) (A_{k - 1} T_{k - 1} - A_{k} T_{k}^{4}) . \end{matrix}

A fennmaradó egyenletek összege

\begin{matrix} (n - k + 1) (A_{k - 1} T_{k - 1}^{4} - A_{k} T_{k}^{4}) = A_{k} T_{k}^{4} - A_{0} T_{0}^{4} . \end{matrix}

T_{k - 1}^{4}

-t kiküszöbölve:

\begin{matrix} T_{k}^{4} = \frac{(n - k + 1) A \cdot T^{4} + k A_{0} T_{0}^{4}}{A_{k} (n + 1)} . \end{matrix}

A teljesítményveszteség:

\begin{matrix} W_{k} = σ (A T^{4} - A_{1} T_{1}^{4}) = \frac{1}{n + 1} σ (A T^{4} - A_{0} T_{0}^{4}) = \frac{1}{n + 1} W_{0} . \end{matrix}

n

reflektor tehát

(n + 1)

-ed részére csökkenti a veszteséget.

Tornóci László (Tata, Eötvös J. Gimn., IV. o. t.) és
Ambrus András (Szeged, Radnóti M. Gimn., IV. o. t.)
dolgozata alapján

2. A teljesítményveszteség két lemez esetén a következő gondolatmenettel is meghatározható. A reflektor mindkét felülete azonos intenzitással sugároz. A megoldás első része alapján egy reflektor azzal a tulajdonsággal rendelkezik, hogy az eredeti

W_{0}

nettó teljesítmény felét visszaveri ‐ így lesz az új veszteség

W_{0} / 2

‐, felét pedig a másik irányban kisugározza. Ha még egy reflektort elhelyezünk, akkor a

(W_{0} / 2)

felét, vagyis

(W_{0} / 4)

-et visszaadja az első reflektornak, ami

(W_{0} / 8)

-at az izzó test felé enged,

(W_{0} / 8)

-at pedig visszaver. Ennek felét a 2. reflektor ismét visszaveri stb.

Az izzó test által felvett visszasugárzott energia:

\begin{matrix} \frac{W_{0}}{2} (1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4^{2}} ...) = \frac{W_{0}}{2} \frac{1}{1 - 1 / 4} = \frac{2}{3} W_{0} . \end{matrix}

A veszteség tehát

W_{0} - (2 / 3) W_{0} = 1 / 3 W_{0}

Köteles Zoltán (Bp., I. István Gimn., III. o. t.)