Kezdőlap


Feladat:	1367. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csapó Ildikó , Fried Miklós , Kisvárdai László , Vankó Péter
Füzet:	1977/január, 44 - 45. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Erőrendszer eredője, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/május: 1367. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Használjuk fel a virtuális munka elvét! A rendszer súlypontjának magassága $(5 / 2) l sin α$ . A teljes helyzeti energia az alátámasztási sík szintjéhez képest $10 G \cdot (5 / 2) l sin α$ . Ha az $α$ szöget egy kis $Δ α$ értékkel megváltoztatjuk, akkor a helyzeti energia változása:

\begin{matrix} Δ E_{1} = 25 \cdot G \cdot l [sin (α + Δ α) - sin α] . \end{matrix}

Az alsó végeket összenyomó erők munkája ezalatt

\begin{matrix} Δ E_{2} = 2 F \cdot (l / 2) [- cos (α + Δ α) + cos α] . \end{matrix}

A kettő egyenlőségéből

\begin{matrix} F = - 25 G \cdot \frac{sin (α + Δ α) - sin α}{cos (α + Δ α) - cos α} = - 25 G \frac{[sin (α + Δ α) - sin α] / Δ α}{[cos (α + Δ α) - cos α] / Δ α}, \end{matrix}

Δ α \to 0

esetén a számláló határértéke

cos α

, a nevezőé

(- sin α)

, tehát a keresett erő pontos értéke

\begin{matrix} F = 25 G \cdot ctg α . \end{matrix}

Csapó Ildikó (Sopron, Széchenyi I. Gimn., III. o. t.)

II. megoldás. Tekintsük a felülről számított

i

-edik rúdpár egyik tagját! A rá ható erők függőleges és vízszintes komponenseit az ábrán tüntettük fel.

A szerkezet szimmetriájából és Newton III. törvényéből következik, hogy a másik rúd által kifejtett

K_{i}

erő vízszintes irányú.
A forgatónyomatéki egyenlet egy, a középponton átmenő tengelyre:

\begin{matrix} (F_{i} + F_{i - 1}) (l / 2) sin α - (N_{i} + N_{i - 1}) (l / 2) cos α = 0. \end{matrix}

Az erők függőleges komponenseire igaz:

\begin{matrix} N_{i - 1} + G - N_{i} = 0 \end{matrix}

Megoldva

F_{i}

-re és

N_{i}

-re

\begin{matrix} F_{i} = (G + 2 N_{i - 1}) ctg α - F_{i - 1} \\ N_{i} = G + N_{i - 1} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy a felső rudak felső vége szabad

(F_{0} = N_{0} = 0)

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} N_{1} = G, N_{2} = 2 G, N_{3} = 3 G, N_{4} = 4 G, N_{5} = 5 G, \\ F_{1} = G ctg α, F_{2} = 4 G ctg α, F_{3} = 9 G ctg α, F_{4} = 16 G ctg α, F_{5} = 25 G ctg α . \end{matrix}

Kisvárdai László (Csongrád, Batsányi J. Gimn., III. o. t.)