Kezdőlap


Feladat:	1361. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Tóth Csaba
Füzet:	1976/november, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Lineáris hőtágulás, Egyéb hőtágulás, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/április: 1361. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljunk egy $0^{\circ} C$ -on $l_{0}$ hosszúságú rudat, amelynek egyik végpontja az origóban van. A másik végpont koordinátái $l_{x} = l_{0} cos β$ , $l_{y} = l_{0} cos γ$ , $l_{z} = l_{0} cos δ$ . A rúd hossza úgy fog növekedni, mint egy $l_{x}, l_{y}, l_{z}$ oldalakkal rendelkező téglatest testátlója. Ha a rúd origóbeli végpontját rögzítjük, a másik végpont új koordinátái $Δ t$ hőmérsékletváltozás után:

\begin{matrix} l_{x} (1 + α_{x} Δ t), l_{y} (1 + α_{y} Δ t), l_{z} = (1 + α_{z} Δ t) . \end{matrix}

A testátló hossza a térbeli Pitagorász-tétel alapján:

\begin{matrix} l = l_{0} \sqrt[]{cos^{2} β {(1 + α_{x} Δ t)}^{2} + cos^{2} γ {(1 + α_{y} Δ t)}^{2} + cos^{2} δ {(1 + α_{z} Δ t)}^{2}} . \end{matrix}

Másrészt, ha a rúd lineáris hőtágulási együtthatója

α

, akkor

\begin{matrix} l = l_{0} (1 + α Δ t) . \end{matrix}

A két egyenlőségből négyzetreemelés után kapjuk:

\begin{matrix} 1 + 2 α Δ t + α^{2} {(Δ t)}^{2} = cos^{2} β + cos^{2} γ + cos^{2} δ + \\ + 2 Δ t (α_{x} cos^{2} β + α_{y} cos^{2} γ + α_{z} cos^{2} δ) + {(Δ t)}^{2} (α_{x}^{2} cos^{2} β + α_{y}^{2} cos^{2} γ + α_{z}^{2} cos^{2} δ) . \end{matrix}

Az egyenlőség mindkét oldalán

Δ t

-nek mint változónak másodfokú polinomja áll. Két polinom akkor és csak akkor egyenlő a változó minden értékére, ha együtthatóik rendre megegyeznek, így a lineáris tagokból nyerjük:

\begin{matrix} α = α_{x} cos^{2} β + α_{y} cos^{2} γ + α_{z} cos^{2} δ . \end{matrix}

A másodfokú tagok együtthatóit egyenlővé téve az

\begin{matrix} α = \sqrt[]{α_{x}^{2} cos^{2} β + cos^{2} γ + α_{z}^{2} cos^{2} δ} \end{matrix}

feltételt kapjuk, ez az érték általában különbözik az előbb nyert értéktől. Ebből következik, hogy a vizsgált rúd hossza pontosan nem az

l = l_{0} (1 + α Δ t)

képlet szerint változik, azonban kis

Δ t

esetében a

{(Δ t)}^{2}

-es tagok elhanyagolhatóak a

Δ t

-t tartalmazó tagok mellett, tehát az előbb vizsgált másodfokú polinomok kis

Δ t

mellett

\begin{matrix} α = α_{x} cos^{2} β + α_{y} cos^{2} γ + α_{z} cos^{2} δ \end{matrix}

esetén egyenlőknek tekinthetők.
Eszerint a most felírt

α

érték adja meg a rúd lineáris hőtágulási együtthatóját, ezzel az együtthatóval kis

Δ t

mellett az

l = l_{0} (1 + α Δ t)

képlet szerint számolhatjuk a rúd hosszát.

Tóth Csaba (Sopron, Széchenyi I. Gimn., III. o. t.)