Kezdőlap


Feladat:	1359. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Blázsik Zoltán , Kókai László , Samu Péter , Tóth Antal
Füzet:	1976/november, 181 - 182. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Folyadékhozam, Bernoulli-törvény, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Analógia alkalmazása, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/április: 1359. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A folyadék belső súrlódásától eltekintünk, így az energiatétel felhasználásával meghatározhatjuk, hogy mekkora a henger sebessége $h$ út megtétele után. Tegyük fel, hogy $ϱ > ϱ_{0}$ , vagyis a henger lefelé mozdul el.
Ha a henger $h$ -val lejjebb kerül, helyzeti energiája

\begin{matrix} m g h = r^{2} π l ϱ g h \end{matrix}

(1)

értékkel csökken. Ugyanekkor egy

r

sugarú,

h

magasságú vízoszlop

l

távolsággal feljebb kerül, helyzeti energiájának növekedése

\begin{matrix} m_{1} g l = r^{2} π h ϱ_{0} g l . \end{matrix}

(2)

A helyzeti energia csökkenése a henger és a mellette visszaáramló folyadék mozgási energiájának növelésére fordítódik. Legyen

h

út megtétele után a henger sebessége

v

Ekkor mozgási energiája

\begin{matrix} m v^{2} / 2 = r^{2} π l ϱ (v^{2} / 2) . \end{matrix}

(3)

A henger

v

sebességű mozgásakor az időegységenként lefelé áramló térfogat

r^{2} π v

, az időegységenként visszaáramló folyadéktérfogat

(R^{2} - r^{2}) π v_{0}

. Ez a két mennyiség egyenlő:

\begin{matrix} r^{2} π v = (R^{2} - r^{2}) π v_{0}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} v_{0} = v \frac{r^{2}}{R^{2} - r^{2}} . \end{matrix}

Így a visszaáramló folyadék mozgási energiája

\begin{matrix} m_{2} \frac{v_{0}^{2}}{2} = (R^{2} - r^{2}) π l \cdot \frac{v^{2}}{2} (\frac{r^{2}}{R^{2} - r^{2}}) . \end{matrix}

(4)

A mechanikai energia megmaradásának tétele szerint

\begin{matrix} m g h - m_{1} g l = m v^{2} / 2 + m_{2} v_{0}^{2} / 2. \end{matrix}

(1)-, (2)-, (3)- és (4)-et (5)-be helyettesítve

v

-t meghatározhatjuk:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{2 g h (ϱ - ϱ_{0})}{ϱ + ϱ_{0} r^{2} / (R^{2} - r^{2})}} . \end{matrix}

Ezt az egyenletesen gyorsuló mozgás

v = \sqrt[]{2 a s}

képletével összevetve kapjuk, hogy a henger egyenletesen gyorsuló mozgást végez, gyorsulása

\begin{matrix} a = g \frac{ϱ - ϱ_{0}}{ϱ + ϱ_{0} r^{2} / (R^{2} - r^{2})} . \end{matrix}

ϱ < ϱ_{0}

, a henger felfelé mozdul el, gyorsulása negatív.

Kókai László (Csongrád, Batsányi J. Gimn., II. o. t.) dolgozata felhasználásával

Megjegyzés. A folyadék természetesen nemcsak a henger mellett áramlik, hanem a henger fölött és alatt is van bizonyos távolságig áramlás. Ha a henger nagyon hosszú,

l ≫ R

, akkor ezeknek az áramlásoknak az elhanyagolása elfogadható.