Kezdőlap


Feladat:	1356. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Faragó Béla , Tóth András
Füzet:	1976/november, 177 - 179. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Coulomb-potenciál, Coulomb-energia, Tömegközéppont megmaradása, Munkatétel, Analógia alkalmazása, Dimenzióanalízis, Határozott integrál, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/március: 1356. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelöljük a golyók távolságát valamely $t$ időpillanatban $x$ -szel ! Az energiamegmaradás szerint:

\begin{matrix} 2 \cdot (1 / 2) m v^{2} + k q^{2} / x = k q^{2} / x_{0}, \end{matrix}

ahol

x_{0}

a golyók távolsága akkor, amikor azok állnak. (

q

a golyók töltése,

m

a tömege.) A golyók sebességének nagysága

\begin{matrix} v = (l / 2) d x / d t . \end{matrix}

Ezt behelyettesítve és

d x / d t

-t kifejezve

\begin{matrix} \frac{d x}{d t} = \sqrt[]{\frac{4 k q^{2}}{m} \frac{x - x_{0}}{x x_{0}}} \end{matrix}

adódik. A keresett

x

távolság ‐ mint a

t

idő függvénye ‐ minden

t

időpillanatban kielégíti a fenti összefüggést. (Azt mondjuk, hogy az

x (t)

függvény egy ún. differenciálegyenletet elégít ki.) Ezenkívül tudjuk, hogy

x (0) = x_{0}

. Be lehet bizonyítani, hogy ilyen függvény pontosan egy létezik, továbbá heurisztikusan a következőképpen nyerhető.
Az egyenletből kicsiny

Δ t

esetén kapjuk:

\begin{matrix} Δ t = Δ x \sqrt[]{\frac{m x_{0}}{4 k q^{2}} \cdot \frac{x}{x - x_{0}}} . \end{matrix}

Osszuk fel az (

x_{0}, 2 x_{0}

), valamint az ennek megfelelő időintervallumot kicsiny részekre. A

j

-edik részekre a következő érvényes:

\begin{matrix} Δ t_{j} = Δ x_{j} \sqrt[]{\frac{m x_{0}}{4 k q^{2}} \cdot \frac{x_{j}}{x_{j} - x_{0}}} . \end{matrix}

Ezeket összegezve

\begin{matrix} t_{x_{0}} = {\sum_{j - 1}^{n}}_{}^{} Δ t_{j} = {\sum_{j - 1}^{n}}_{}^{} Δ x_{j} \sqrt[]{\frac{m x_{0}}{4 k q^{2}} \cdot \frac{x_{j}}{x_{j} - x_{0}}} . \end{matrix}

A jobb oldal az

\begin{matrix} {\int_{x_{0}}^{2 x_{0}}}_{}^{} \sqrt[]{\frac{m x_{0}}{4 k q^{2}} \cdot \frac{x}{x - x_{0}}} d x \end{matrix}

integrál egy közelítő összege, ezért a felosztás finomításával a következőt kapjuk:

\begin{matrix} t_{x_{0}} = {\int_{x_{0}}^{2 x_{0}}}_{}^{} \sqrt[]{\frac{m x_{0}}{4 k q^{2}} \cdot \frac{x}{x - x_{0}}} d x . \end{matrix}

Vezessük be az

x

helyett az

x / x_{o} = z

változót:

\begin{matrix} t_{x_{0}} = \sqrt[]{\frac{m x_{0}^{3}}{4 k q^{2}}} \cdot {\int_{1}^{2}}_{}^{} \sqrt[]{\frac{z}{z - 1}} dz. \end{matrix}

Az első esetben

x_{0} = l

, tehát

\begin{matrix} t_{i} = \sqrt[]{\frac{m l^{3}}{4 k q^{2}}} {\int_{1}^{2}}_{}^{} \sqrt[]{\frac{z}{z - 1}} d z . \end{matrix}

A második esetben

x_{0} = 3 l

, így

\begin{matrix} t_{3 l} = {(\frac{m 3^{3} l^{3}}{4 k q^{2}})}^{1 / 2} {\int_{1}^{2}}_{}^{} \sqrt[]{\frac{z}{z - 1}} d z = 3 \cdot \sqrt[]{3} t_{l} . \end{matrix}

Faragó Béla (Csongrád, Batsányi J. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. A feladatban vegyük adottnak a golyók töltését (

q

), tömegét (

m

) és a kezdeti távolságukat (

x_{0}

), és keressük azt a

t_{x_{0}}

, időt, amely alatt a kezdeti távolság megduplázódik ! Vizsgáljuk meg, hogy milyen alakban függhet

t_{x_{0}}

, a megadott

g, m

és

x_{0}

mennyiségektől, valamint a Coulomb-törvényben szereplő

k

állandótól. A megadott mennyiségek között nincs idő dimenziójú mennyiség, tehát a

t_{x_{0}}

, kifejezése csak

\begin{matrix} t_{x_{0}} = q^{α_{1}} \cdot k^{β_{1}} \cdot x_{0}^{γ_{1}} \cdot m^{δ_{1}} \cdot f (q^{α_{2}} \cdot k^{β_{2}} \cdot x_{0}^{γ_{2}} \cdot m^{δ_{2}}) \end{matrix}

alakú lehet, ahol

α_{1}, β_{1}, γ_{1}, δ_{1}

és

α_{2}, β_{2}, γ_{2}, δ_{2}

olyanok, hogy

q^{α_{1}} \cdot k^{β_{1}} \cdot x_{0}^{γ_{1}} \cdot m^{δ_{1}}

idő dimenziójú, a

q^{α_{2}} \cdot k^{β_{2}} \cdot x_{0}^{γ_{2}} \cdot m^{δ_{2}}

kombináció pedig dimenziótlan. Megvizsgálva a megadott mennyiségek dimenzióját (pl. MKS rendszerben

[q] = C, [k] = \frac{kg \cdot m^{3}}{C^{2} \cdot {sec}^{2}}

;

[x_{0}] = m; [m] = kg)

, azt találjuk, hogy feltételeinket csak az

α_{1} = - 1, β_{1} = - 1 / 2, γ_{1} = 3 / 2, δ_{1} = 1 / 2

és

α_{2} = 0, β_{2} = 0, γ_{2} = 0, δ_{2} = 0

elégíti ki. Ennek alapján

\begin{matrix} t_{x_{0}} = {(\frac{m x_{0}^{3}}{k q^{2}})}^{1 / 2} \cdot f, \end{matrix}

ahol az

f

dimenziótlan számot a probléma meghatározza, de nem függ az adott mennyiségektől. Ha

x_{0} = l

\begin{matrix} t = t_{i} = {(\frac{m l^{3}}{k \cdot q^{2}})}^{1 / 2} f, \end{matrix}

ha pedig

x_{0} = 3 l

\begin{matrix} t_{3 l} = {(\frac{m 27 l^{3}}{k \cdot q^{2}})}^{1 / 2} f = 3 \sqrt[]{3} \cdot t_{l} \end{matrix}

Tóth András (Pécs, Nagy Lajos Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján

Megjegyzés: A II. megoldásban a dimenziókat MKS rendszerben írtuk fel. Be lehet látni, hogy a dimenzióanalízis eredménye nem függ a választott egységrendszertől, a dimenzióanalízis a természeti törvények mértékegységrendszertől való függetlenségén alapszik.
A II. Megoldás

f

állandója az I. megoldásból megkapható:

\begin{matrix} f = \frac{1}{2} \cdot {\int_{1}^{2}}_{}^{} \sqrt[]{\frac{z}{z - 1}} d z . \end{matrix}