Kezdőlap


Feladat:	1353. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csapó Ildikó
Füzet:	1976/november, 174 - 175. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb egyenletesen változó mozgás, Csúszásmentes (tiszta) gördülés, Gördülés lejtőn, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/március: 1353. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Foglalkozzunk először a síklapon legördülő golyó mozgásának leírásával. A súlypont $a_{1}$ gyorsulással mozog lefelé a lejtőn. Mozgásegyenlete:

\begin{matrix} m g sin α - F_{s 1} = m a_{1} \end{matrix}

(1)

(l. az 1. ábrát).

1. ábra

A golyó a súlypontján áthaladó tengely körül

β_{1}

szöggyorsulással forog:

\begin{matrix} F_{s 1} \cdot r = Θ β_{1}, \end{matrix}

(2)

ahol

Θ = (2 / 5) m r^{2}

, a gömb súlyponti tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka. A golyó csúszásmentesen gördül, ezért a lejtővel érintkező pontjának pillanatnyi gyorsulása nulla:

\begin{matrix} a_{1} - β_{1} r = 0. \end{matrix}

(3)

t_{1}

menetidő:

\begin{matrix} t_{1} = \sqrt[]{\frac{2 l}{a_{1}}} . \end{matrix}

(4)

Az (1)‐(3) egyenletekből az

a_{1}

gyorsulás kifejezhető, és (4)-be írva megkapjuk a golyó legördülési idejét:

\begin{matrix} t_{1} = \sqrt[]{\frac{14}{5} \cdot \frac{l}{g sin α}} . \end{matrix}

(5)

Sínpáron történő legördülésnél a golyó transzlációs és rotációs mozgásegyenletei, valamint a kényszerfeltétel az előző esethez hasonlóan írhatók fel (2. ábra):

\begin{matrix} m g sin α - 2 F_{s 2} = m a_{2}, & (6) \\ 2 F_{s 2} = Θ β_{2}, & (7) \\ a_{2} - β_{2} ϱ = 0. & (8) \end{matrix}

2. ábra

2 x

-szel jelöljük a sínek távolságát, akkor

\begin{matrix} ϱ = \sqrt[]{r^{2} - x^{2} .} \end{matrix}

(9)

t_{2}

menetidőt

a_{2}

segítségével fejezhetjük ki, amelyet a (6)‐(8) egyenletekből nyerhetünk:

\begin{matrix} t_{2} = \sqrt[]{\frac{2 l}{a_{2}}} = \sqrt[]{\frac{2 l [(7 / 5) r^{2} - x^{2}]}{(r^{2} - x^{2}) g sin α}} \end{matrix}

(10)

A feladat szerint a két menetidő különbsége

Δ t = 1 s

\begin{matrix} Δ t = \sqrt[]{\frac{l}{g sin α}} \cdot (\sqrt[]{\frac{2 [(7 / 5) r^{2} - x^{2}]}{r^{2} - x^{2}}} - \sqrt[]{\frac{14}{5}}) \end{matrix}

(11)

Ebben az egyenletben csak

x

az ismeretlen, amelyet könnyen kifejezhetünk,

\begin{matrix} x = r \sqrt[]{\frac{A - (14 / 5)}{A - 2}}, \end{matrix}

ahol

A

-val az alábbi pozitív mennyiséget jelöltük:

\begin{matrix} A = {(\sqrt[]{\frac{g sin α}{l}} \cdot Δ t + \sqrt[]{\frac{14}{5}})}^{2} . \end{matrix}

Numerikusan:

A = 7, 9

, a sínpár nyomtávolsága

2 x = 11, 2 cm

, a golyók menetideje

t_{1} = 1, 49 mp

, ill.

t_{2} = 2, 49 mp

Csapó Ildikó (Sopron, Széchenyi I. Gimn., III. o. t.)