Kezdőlap


Feladat:	1348. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bisztray Frigyes , Erő Zoltán , Gulyás Mihály , Harsányi Gábor , Kenyeres Miklós , Kovács József , Zsigmond Géza
Füzet:	1976/november, 168 - 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Faraday-féle indukciótörvény, Áramvezetőre ható erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: 1348. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg, hogy a változó mágneses terek által indukált feszültségek hatására milyen áramok folynak a kalicka rúdjaiban.
A vízszintes síkban fekvő $a, c$ rudak és a két körgyűrű által határolt felületen a mágneses tér függőleges komponensének fluxusa:

\begin{matrix} Φ_{a c} = A B_{y} = 2 r l B_{0} sin ω t, \end{matrix}

(1)

míg a vízszintes komponens fluxusa nulla (1. ábra).

1. ábra

Az indukált feszültség:

\begin{matrix} U_{a c} = - \frac{d Φ_{a c}}{d t} = - 2 r l B_{0} ω cos ω t \end{matrix}

(2)

B_{y}

által indukált feszültség hatására a rendszer tengelyszimmetrikus elrendezése miatt a

b

és

d

rudakban nem folyhat áram (l. a 2. ábrát).

2. ábra

(A 2. ábrának megfelelően ui. az

e

tengely párhuzamos

B_{y}

-nal. Az

e

körüli

180^{\circ}

-os elforgatással a rendszer önmagába megy át, de a

b

és

d

rudakban folyó áram iránya előjelet vált. Ez csak úgy lehet, ha ezek az áramok azonosan nullák.) Az

a

és

c

rudakban folyó áram:

\begin{matrix} I_{a c} = \frac{U_{a c}}{(2 l + r π) σ} = - \frac{2 r l B_{0} ω cos ω t}{(2 l + r π) σ} . \end{matrix}

(3)

A 3. ábrán feltüntetett áramirányokat a jobbkéz-szabály és a (2) indukciós törvényben szereplő előjel határozza meg.

3. ábra

b, d

rudak és a két körgyűrű által határolt felületen a mágneses tér vízszintes összetevőjének lesz nullától különböző fluxusa:

\begin{matrix} Φ_{b d} = A B_{x} = 2 r l B_{0} cos ω t . \end{matrix}

(4)

B_{x}

által indukált

\begin{matrix} U_{b d} = - \frac{d Φ_{b d}}{d t} = 2 r l B_{0} ω sin ω t \end{matrix}

(5)

feszültség hatására ‐ az előzőekhez hasonló megfontolással ‐ ezúttal az

a

és

c

rudakban nem folyik áram, míg a

b

és

d

rúdban a 4. ábrán feltüntetett irányokkal

\begin{matrix} I_{b d} = \frac{2 r l B_{0} sin ω t}{(2 l + r π) σ} \end{matrix}

(6)

áram folyik.

4. ábra

Az elektromosságtan szuperpozíció elve tette lehetővé azt, hogy külön vizsgáljuk az (

U_{a c}

, és az

U_{b c}

, feszültségek által keltett áramokat.
A kalickában folyó áramokra a jelenlevő mágneses tér erővel hat. Az erő merőleges mind az áram, mind a mágneses tér irányára, és előjelét a jobbkéz-szabály határozza meg. Számunkra azok az erők fontosak, amelyek a kalicka hossztengelye körül forgatónyomatékot képesek kifejteni.
Így a körgyűrűkben folyó áramokra ható erők, amelyek a tengellyel párhuzamos irányúak, vagy pl.

B_{y}

által az

a

, ill.

c

rúdban folyó áramokra ható erők, amelyek hatásvonala metszi a tengelyt, a forgatónyomaték szempontjából nem érdekesek.
A

B_{x}

mágneses tér az

a

, ill.

c

rúdban folyó áramra

\begin{matrix} | F_{1} | = I_{a c} l B_{x} \end{matrix}

(7)

nagyságú erőkkel hat, amely erők iránya különböző, mivel a két rúdban az áramok iránya is különböző (5. ábra).

5. ábra

E két erő forgatónyomatékának nagysága

\begin{matrix} M_{1} = 2 r | F_{1} | = 2 r I_{a c} l B_{x} = \frac{4 r^{2} l^{2} B_{0}^{2} ω sin^{2} ω t}{(2 l + r π) σ}, \end{matrix}

(8)

míg iránya az óramutató járásával ellentétes.
A

B_{y}

tér a

b

, ill.

d

rudakra hat

| F_{2} | = I_{b d} l B_{y}

nagyságú erőkkel (5. ábra), amelyek forgatónyomatéba

\begin{matrix} M_{2} = 2 r | F_{2} | = \frac{4 r^{2} l^{2} B_{0}^{2} ω cos^{2} ω t}{(2 l + r π) σ} . \end{matrix}

(9)

Az eredő forgatónyomaték:

\begin{matrix} M = M_{1} + M_{2} = \frac{4 r^{2} l^{2} B_{0}^{2}}{(2 l + r π) σ} ω \end{matrix}

(10)

minden időpillanatban.
Az egymással páronként szemben álló mágnespofák egy

B_{0}

nagyságú,

ω

szögsebességgel forgó mágneses teret keltenek. (Éppen ennek komponensei a

B_{x} = B_{0} cos ω t, B_{y} = B_{0} sin ω t

értékek.) Az álló kalickára ható forgatónyomaték időben állandó, nem függ az eredő mágneses tér pillanatnyi irányától. Emiatt az is közömbös, hogy a kalicka a mágnespofákhoz képest hogyan áll.
A forgatónyomatékot az határozza meg, hogy

B_{0}

milyen szögsebességgel forog a kerethez képest. Ha a keret már

ω'

szögsebességgel forog, (10) alapján a forgatónyomaték

\begin{matrix} M = \frac{4 r^{2} l^{2} B_{0}^{2}}{(2 l + r π) σ} (ω - ω'), \end{matrix}

(11)

speciálisan, ha

ω - ω'

, akkor

M = 0

Erő Zoltán (Budapest, Móricz Zs. Gimn., IV. o. t.) dolgozata alapján