Kezdőlap


Feladat:	1346. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kárpáti Tibor
Füzet:	1976/szeptember, 43 - 44. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Összetartó erők eredője, Tapadó súrlódás, Közelítő számítások, numerikus módszerek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: 1346. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szimmetrikaokok miatt elegendő az egyik pálca egyensúlyi feltételeivel foglalkoznunk. Írjuk fel a pálcára ható erőket!

m g

súlyerő a súlypontban támad, függőlegesen lefelé mutat. A henger erőt fejt ki a pálcára az érintési pontban, amelynek rúdirányú komponensét (súrlódási erő),

S

-sel, a rá merőleges összetevőjét

N

-nel jelöltük. A csukló által kifejtett

K

kényszererő vízszintes irányú, ha a csukló tömege elhanyagolhatónak tekinthető.
A pálca egyensúlyban van, ezért a rá ható erők eredője nulla:

\begin{matrix} - K - S \cdot sin α + N \cdot cos α = 0, & (1) \\ - G + S cos α + N sin α = 0, & (2) \end{matrix}

továbbá a csuklóra felírt fargatónyomatékok összege nulla:

\begin{matrix} N r ctg α - G (l / 2) sin α = 0. \end{matrix}

(3)

S

súrlódási erő abszolút értéke maximálisan az

N

nyomóerő

μ

-szörösével lehet egyenlő:

\begin{matrix} | S | < μ N . \end{matrix}

(4)

A (2) és (3) egyenletekből kifejezhető

S

és

N

, majd (4)-be írva kapjuk, hogy a rendszer olyan

α

mellett lesz egyensúlyban, amelyre

\begin{matrix} | \frac{1}{(l / 2 r) \cdot sin^{2} α} - tg α | \leq μ . \end{matrix}

(5)

Egyszerűsíthető az abszolút érték jelek között álló kifejezés, ha felhasználjuk az

l

-re és

r

-re megadott numerikus értékeket

(l / (2 r) = 1)

\begin{matrix} | \frac{- {tg}^{3} α + {tg}^{2} α + 1}{{tg}^{2} α} | \leq μ . \end{matrix}

(6)

A bal oldal számlálójában szereplő kifejezés

tg α

harmadfokú függvénye. Ezt a függvényt vizsgálva megállapíthatjuk, hogy csak a

tg α_{0} \approx 1, 47

értéknél lesz nulla, ennél kisebb

tg α

értékekre pozitív, nagyobbakra negatív lesz az előjele. Ennek figyelembevételével szabad csak az abszolút érték jelet felbontani.
1. Ha

tg α < 1, 47

, akkor

\begin{matrix} - {tg}^{3} α + 0, 8 \cdot {tg}^{2} α + 1 \leq 0, \end{matrix}

(7a)

2. ha

tg α > 1, 47

, akkor

\begin{matrix} {tg}^{3} α - 1, 2 \cdot {tg}^{2} α - 1 \leq 0. \end{matrix}

(7b)

(Felhasználtuk

μ

megadott értékét.) Az egyenlőtlenségeket közelítő módszerekkel oldhatjuk meg a függvényanalízis eszközeit használva. (7a) megoldása:

tg α > 1, 35

, (7b) megoldása:

tg α < 1, 59

. A

tg α

-ra megengedett szélső értékeket visszakeresve kijelenthetjük, hogy

53, 5^{\circ} < α < 57, 9^{\circ}

esetén van a rendszer egyensúlyban.

Kárpáti Tibor (Pécs, Zipernovszky K. Szakközépisk., IV. o. t.) dolgozata alapján