Kezdőlap


Feladat:	1345. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Faragó Béla , Kriza György
Füzet:	1976/október, 92 - 93. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	A perdületmegmaradás törvénye, Tehetetlenségi nyomaték, Egyéb merev test síkmozgások, Egyéb rögzített tengely körüli forgás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: 1345. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az egyszerűség kedvéért tekintsük úgy, hogy $m$ a motor forgórészének tömege, és az állórész tömege elhanyagolható. Az állórész tömegének figyelembevétele csak a korong tehetetlenségi nyomatékát növelné. Tegyük fel továbbá, hogy a korong szöggyorsulása állandó.
A forgórész mozgását tömegközéppontjának haladó mozgásából és tömegközéppontja körüli forgásból tehetjük össze. A tömegközéppont gyorsuló körmozgást végez, gyorsulása érintő irányban $β' d$ , tehát a forgórészre érintő irányban

\begin{matrix} F = m β' d \end{matrix}

(1)

erő hat. A motorra ható centripetális erő hatásvonala átmegy a korong tengelyén, tehát ellenerejének nincs forgatónyomatéka a korongra.
A forgórész a Földhöz képest

β

szöggyorsulással forog tömegközéppontja körül, így rá

\begin{matrix} M = ϑ β \end{matrix}

(2)

forgatónyomaték hat.
A nagy korong

F

ellenereje, valamint az

M

forgatónyomatékot létrehozó erőpárok erőinek ellenereje hatására jön forgásba, tehát a nagy korong szöggyorsulása a

\begin{matrix} Θ β' = - M - F d \end{matrix}

(3)

egyenletből határozható meg. (1)-et és (2)-t behelyettesítve nyerjük:

\begin{matrix} β' = - \frac{ϑ}{Θ + m d^{2}} β . \end{matrix}

Faragó Béla (Csongrád, Batsányi J. Ginm., IV. o. t.)

II. megoldás. A feladatot megoldhatjuk az impulzusmomentum megmaradása tételének felhasználásával is, mivel a korong tengelyére vonatkozóan nem hat a rendszerre külső forgatónyomaték. Egy adott pillanatban a motor forgórésze

ω

, a korong

ω'

szögsebességgel forog a Földhöz képest. Határozzuk meg, mekkora ekkor a rendszer impulzusmomentuma ! Az impulzusmomentumot mindkét testre ugyanarra a nyugvó tengelyre, a nagy korong tengelyére kell felírnunk.
A korong impulzusmomentuma

\begin{matrix} N_{1} = Θ ω' . \end{matrix}

(1)

Mivel bármely test mozgása tömegközéppontjának haladó mozgásából és a tömegközéppont körüli forgásból tehető össze, valószínű, hogy a forgórész impulzusmomentuma

\begin{matrix} N_{2} = m d^{2} ω' + ϑ ω, \end{matrix}

(2)

ahol az első tag a tömegközéppont körmozgásából, a második a forgásból származik. Ezt az összefüggést azonban az impulzusmomentum pontos definíciója alapján bizonyítani kell. Osszuk fel a forgórészt kis tömegelemekre, amelyeknek a Földhöz viszonyított impulzusa

p_{i}

, a forgórész középpontjából kiindulva helyvektora

r_{i}

(l. az ábrát).

Ekkor

\begin{matrix} N_{2} = \sum_{i}^{} (d + r_{i}) \times p_{i} = d \times \sum_{i}^{} p_{i} + \sum_{i}^{} r_{i} \times p_{i} . \end{matrix}

(3)

\sum_{i} p_{i} = m v

, ahol

v

a forgórész tömegközéppontjának sebessége. Így (3) első tagja

\begin{matrix} d \times \sum_{i}^{} p_{i} = d \times m v = m d \times (ω' \times d) = m d^{2} ω' . \end{matrix}

(3) második tagja definíció szerint a forgórész saját tengelyére vonatkozó impulzusmomentuma, így

\begin{matrix} \sum_{i}^{} r_{i} \times p_{i} = ϑ ω . \end{matrix}

Ezzel (2) helyességét igazoltuk. Feltéve, hogy a rendszer kezdetben nyugalomban volt,

t

idővel a motor bekapcsolása után

ω = β t, ω' = β' t

(a korong szöggyorsulását állandónak tételezzük fel), és az impulzusmomentum megmaradásának tétele szerint

\begin{matrix} 0 = Θ ω' + m d^{2} ω' + ϑ ω, \\ 0 = Θ β' t + m d^{2} β' t + ϑ β t, \\ β' = - \frac{ϑ}{Θ + m d^{2}} β . \end{matrix}

Kriza György (Bp., Fazekas M. Gyak. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Sok megoldó a forgórész tömegközéppontjának mozgását a korong tehetetlenségi nyomatékának

m d^{2}

-tel való növelésével vette figyelembe, és elfelejtkezett a korong és a motor között ható érintő irányú erőről, illetve a forgórész implzusmomentumát saját tengelyére írta fel. Bár ezek a dolgozatok helyes végeredményt adtak, a jogosulatlan feltevések miatt hiányosak.