Feladat: 1344. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dőry István 
Füzet: 1976/október, 90 - 92. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Tökéletesen rugalmatlan ütközések, Rugalmas erő, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Nyomóerő, kötélerő, Munkatétel, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1976/február: 1344. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A tányér a golyó rugalmatlan becsapódása után harmonikus rezgőmozgást fog végezni. Jelöljük ennek a mozgásnak a kitérését az ütközés utáni pillanatban x0-lal, a sebességét pedig v0-val. v0 a tányérnak és a golyónak a rugalmatlan ütközés során kialakult közös sebessége. Ütközés előtt a golyó sebessége 2gh volt, így

(M+m)v0=m2gh,v0=[m/(m+M)]⋅2gh.
A harmonikus rezgőmozgás középpontja az a pont, amelyben a rugóra felfüggesztett tányér a benne levő golyóval egyensúlyban lehetne. A rugót az M tömegű tányér már megnyújtva tartja, a beléhelyezett golyó tovább nyújtaná. Ez a nyúlás megkapható a direkciós erő definíciója segítségével:
D=ΔF/Δl;a jelen esetbenΔF=mg,ígyΔl=mg/D.
Az ütközés abban a magasságban történik, ahol az üres tányér van egyensúlyban, tehát x0=Δl-lel a rezgésközéppont fölött.
 

 

Ha a kitérést a rezgés középpontjától mérjük, az időt pedig az ütközéstől, a kitérés, a sebesség és a gyorsulás rendre
x=Asin(ωt+φ),v=Aωcos(ωt+φ),a=-Aω2sin(ωt+φ),
ahol a rezgés körfrekvenciája
ω=D/(m+M).
A rezgés amplitúdóját akár a t=0;x=x0,v=v0 kezdeti feltételek helyettesítésével, akár a rezgés energiájának felhasználásával számolhatjuk. Ez utóbbiról tudjuk, hogy (1/2)DA2, és egyenlő a tetszőleges pillanatban vett kitéréshez tartozó rugalmas energia ((1/2)Dx2) és kinetikus energia ((1/2)(M+m)v2) összegével:
(1/2)DA2=(1/2)Dx02,+(1/2)(M+m)v02.
Innen x0 és v0 korábban kapott kifejezéseit behelyettesítve:
A=(mgD)2+2ghm2D(M+m).
A rezgés fázisszöge x0 és v0 osztásából:
φ=arctg(ωx0/v0).
 

 Dőry lstván (Bp., Piarista Gimn., III. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. A golyó és a tányér harmonikus rezgőmozgásának feltétele, hogy a mozgás során együtt maradjanak. Ha a rezgés gyorsulása valahol nagyobb, mint g, és a golyó nem tapad a tányérra, akkor a golyó elhagyja a tányért, a mozgásban új szakasz kezdődik, melynek során a tányér más frekvenciával rezgést végez, a golyó pedig függőleges hajításnak megfelelően mozog.
2. A megoldásban a rezgés középpontjának meghatározása után nem vettük figyelembe a nehézségi erőteret. Ez azért tehető, mert egy állandó erő csak a rezgés középpontját változtatja meg, de a frekvenciáját nem befolyásolja. Ezt a következőképpen láthatjuk be. Nehézségi erőtérben rugóra függesztett testre felírható a Newton-egyenlet:
ma=-Dx-mg,
ahol a a gyorsulás és x-et az üres rugó végének nyugalmi helyzetétől mérjük, és fölfelé tekintjük pozitívnak. Ha most a -mg/D-től mért kitérést y-nal jelöljük, akkor
x=y-mg/D.
Figyelembe véve, hogy a gyorsulás független a koordinátarendszer kezdőpontjától, ebből kapjuk:
ma=-Dy.
Innen leolvasható, hogy az y változó ugyanolyan harmonikus rezgőmozgás szerint változik, mint az x változna a nehézségi erő nélkül.
Belátható az is, hogy energetikai megfontolásokkal is ki lehet küszöbölni a nehézségi erőből származó helyzeti energiát. Írjuk fel a fenti rendszer mechanikai energiáját !
(1/2)mv2+(1/2)Dx2+mgx.
0 szintnek a megnyújtatlan rugó magasságában nyugvó test energiáját vettük.
Az utolsó két tag teljes négyzetté való alakítása után
12mv2+12D(x+mgD)2-12D(mgD)2=12mv2+12Dy2-12D(mgD)2.
Ebből az első két tag azonosítható a ,,rezgés energiájával'' a harmadik tag a nehézségi erőből származó helyzeti és a rugó megnyúlásából adódó rugalmas helyzeti energia összege a nyugalmi helyzetben. Ezt a tagot elhagyhatjuk, ha most 0 szintnek a rugóra függesztett nyugvó test energiáját vesszük. Nem célszerű elhagyni akkor, amikor olyan rezgések energiáját hasonlítjuk össze, amelyeknek a középpontja különböző: ha ugyanis egyszer rögzítettük az energia 0 szintjét, minden energiát ettől kell mérni, és ha az energiamérleg egyik oldalán eltoltuk a 0 szintet, a másikon is ugyanennyivel el kell tolni. Feladatunkban ez nem jelentkezett, mert olyan helyzetek energiáját hasonlítottuk össze, ahol a rezgési középpont ugyanaz volt: az ütközés utáni pillanatban a középponttól mért x0 kitéréshez tartozó rugalmas és kinetikus energiát a szélső helyzetben a középponttól mért kitéréshez tartozó rugalmas energiával tettük egyenlővé.
A beérkezett dolgozatok nagy részében a hiba onnan eredt, hogy a megoldók nem látták tisztán a nehézségi erő szerepét, és nem tudták következetesen figyelembe venni, vagy következetesen elhagyni. Ezért javasoljuk, hogy a megoldók a fentiek alapján újra gondolják át a megoldásukat.