Kezdőlap


Feladat:	1341. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh István , Németh Róbert , Samu Péter
Füzet:	1976/október, 88 - 89. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Hajítások, Ellenpélda (Fizika), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/február: 1341. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Indítsunk el egy testet a vízszintessel $α$ szöget bezáró irányban $v_{0}$ kezdősebességgel. $t$ idő múlva ez a test $t \cdot v_{0} \cdot sin α - (g / 2) \cdot t^{2}$ magasságban lesz, a kezdőponttól mért távolságának vízszintes komponense $t \cdot v_{0} \cdot cos α$ . Láthatjuk, hogy a test a következő pályán mozog:

\begin{matrix} y = x tg α - \frac{g}{2 \cdot v_{0}^{2} cos^{2} α} x^{2} . \end{matrix}

A test akkor találja el a célt, ha a célpont koordinátái

(x_{c}, y_{c})

kielégítik ezt az egyenletet. Így az egyenletből meghatározhatjuk, hogy valamely

v_{0}

kezdősebesség esetén milyen szög alatt kell elindítani a testet, hogy a céltárgyat eltaláljuk. Felhasználva a

sin α = \sqrt[]{1 - cos^{2} α}

összefüggést,

cos^{2} α

-ra a következő másodfokú egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} cos^{4} α (x_{c}^{2} + y_{c}^{2}) + cos^{2} α \cdot x_{c}^{2} (\frac{g y_{c}}{v_{0}^{2}} - 1) + \frac{g^{2} x_{c}^{4}}{4 v_{0}^{4}} = 0. \end{matrix}

Ennek megoldása:

\begin{matrix} cos^{2} α = \frac{v_{0}^{2} - g y_{c} \pm \sqrt[]{v_{0}^{4} - 2 g y_{c} v_{0}^{2} - g^{2} x_{0}^{2}}}{2 (v_{0}^{2} + \frac{y_{c}^{2}}{x_{c}^{2}} v_{0}^{2})} . \end{matrix}

(1)

Fizikai tartalommal bíró megoldást csak úgy kaphatunk, ha a gyökjel alatt nemnegatív mennyiség áll. A diszkrimináns akkor nemnegatív, ha

\begin{matrix} v_{0}^{2} \geq g (y_{c} + \sqrt[]{y_{c}^{2} + x_{c}^{2}}) . \end{matrix}

Ekkor (1) jobb oldala a (‐) előjel mellett

0

és

1 / 2

közötti szám, tehát van olyan

α

szög, amelyre (1) teljesül, ezért valóban el tudjuk találni ekkor a tárgyat. Ugyanis egyrészt

\begin{matrix} | v_{0}^{2} - g y_{c} | \geq \sqrt[]{v_{0}^{4} - 2 g y_{c} v_{0}^{2} - g^{2} x_{c}^{2}}, \end{matrix}

hiszen

\begin{matrix} v_{0}^{2} - g y_{c} > 0 és {(v_{0}^{2} - g y_{c})}^{2} \geq v_{0}^{2} - 2 g y_{c} v_{0}^{4} - g^{2} x_{c}^{2}; \end{matrix}

másrészt

y_{c} \geq 0

esetén nyilván

\begin{matrix} v_{0}^{2} - g y_{c} < v_{0}^{2} + (y_{c}^{2} / x_{c}^{2}) v_{0}^{2} . \end{matrix}

Így láthatjuk, hogy a legkisebb sebesség, amivel a céltárgyat eltalálhatjuk:

\begin{matrix} v_{0 min} = \sqrt[]{g (y_{c} + \sqrt[]{y_{c}^{2} + x_{c}^{2}})} . \end{matrix}

A feladat numerikus adataival

(y_{c} = 70 m, x_{c} = 240 m)

;

\begin{matrix} v_{0 min} = \sqrt[]{320 m \cdot g} \approx 56 m/s . \end{matrix}

Németh István (Zalaegerszeg, Zrínyi M. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. A vízszintessel

α

szöget bezáró irányban

v_{0}

kezdősebességgel elindított test pályája:

\begin{matrix} y = x tg α - \frac{g}{2 \cdot v_{0}^{2} cos^{2} α} x^{2} . \end{matrix}

Akkor találjuk el a célt, ha a célpont koordinátái kielégítik ezt az egyenletet. Ebből a következő összefüggést kapjuk a kezdősebesség és a hajítás iránya közt:

\begin{matrix} v_{0}^{2} = \frac{g x_{c}^{2}}{2 x_{c} sin α cos α - 2 y_{c} cos^{2} α} . \end{matrix}

(1)

A hajítás kezdősebessége akkor minimális, ha a jobb oldali tört nevezője maximális. Ez azt jelenti, hogy a keresett

α

szög mellett a nevezőnek mint

α

függvényének abszolút és egyben helyi szélsőértéke van, tehát a nevező

α

szerinti deriváltja

0

\begin{matrix} 2 x_{c} cos 2 α + 2 y_{c} sin 2 α = 0. \end{matrix}

Ez akkor igaz, ha

tg 2 α = - (x_{c} / y_{c})

, így ebből ismerjük a hajítás szögét, (1) segítségével pedig a kezdősebességet is meghatározhatjuk.
A feladat numerikus adataival

\begin{matrix} α_{min} = 53, 1^{\circ} és v_{0 min} \approx 56 m/s . \end{matrix}

Samu Péter (Csongrád, Batsányi J. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. Sok megoldó úgy vélte, hogy a cél eltalálásához akkor kell a legkisebb kezdősebesség, ha a lövedék pályája legmagasabb pontján találja el a célt, mások szerint pedig a lövedéket a vízszinteshez képest

45^{\circ}

-os szögben kell kilőni. Mindkét álláspont helytelenségét gyorsan be lehet látni: ha például tőlünk 240 m-re, de velünk egy magasságban van a cél, a lövedék ezt nyilván nem pályája csúcsán találja el; másrészt pedig egy tőlünk 240 m-re, de 250 m magasan levő célt nem lehet eltalálni a vízszinteshez képest

45^{\circ}

-os szög alatt indított lövedékkel.