Kezdőlap


Feladat:	1340. fizika feladat	Korcsoport: -	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kárpáti Gábor
Füzet:	1976/szeptember, 41 - 42. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Stefan--Boltzmann-törvény, Folyadékok, szilárd testek fajhője, I. főtétel, Fehér törpe, Elemi függvények differenciálhányadosai, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/január: 1340. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a csillag fajhője $c$ , akkor $Δ T$ hőmérsékletváltozás esetén energiája

\begin{matrix} Δ U = c \cdot m \cdot Δ T \end{matrix}

értékkel változik meg. Ez az energiaváltozás egyenlő a közben eltelt

Δ t

idő alatt kisugárzott energiával, amit a Stefan-Boltzmann törvény alapján

\begin{matrix} Δ U = - A σ T^{4} \cdot Δ t; (A = 4 π r^{2}) \end{matrix}

alakban írhatunk. A negatív előjel mutatja, hogy az idő múlásával az energia csökken.

Δ U

kétféleképpen számított értéke egyenlő:

\begin{matrix} c \cdot m \cdot Δ T = - A σ T^{4} Δ t, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} \frac{Δ T}{Δ t} = - \frac{A σ}{c m} T^{4} . \end{matrix}

Mivel

{lim}_{Δ t \to 0}^{} (Δ T / Δ t)

a hőmérsékletnek mint az idő függvényének differenciálhányadosa

(d T / d t)

, azért a fenti egyenletből

Δ t \to 0

határátmenettel a következőt kapjuk:

\begin{matrix} d T / d t = - (A σ / c m) T^{4} . \end{matrix}

Ebből a differenciálegyenletből a keresett

T (t)

függvény megkapható, ha figyelembe vesszük a

T (0) = T_{0}

kezdeti feltételt. A differenciálegyenletet így írhatjuk:

\begin{matrix} \frac{1}{T^{4}} \frac{d T}{d t} = - \frac{A σ}{c m}, \\ - \frac{1}{3} \frac{d}{d t} (T^{- 3}) = - \frac{A σ}{c m}, \frac{d}{d t} (T^{- 3}) = \frac{3 A σ}{c m}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} T^{- 3} = \frac{3 A σ}{c m} t + C, \\ T = {(\frac{3 A σ}{c m} t + C)}^{- 1 / 3} . \end{matrix}

T (0) = T_{0}

feltételből következik, hogy

C = T_{0}^{- 3}

, tehát

\begin{matrix} T = {(\frac{3 A σ}{c m} t + T_{0}^{- 3})}^{- 1 / 3} = T_{0} {(1 + \frac{12 r^{2} π σ T_{0}^{3}}{c m} t)}^{- 1 / 3} = \frac{16 700^{\circ} K}{\sqrt[3]{1 + 1, 45 \cdot 10^{- 16} s^{- 1} t}} \end{matrix}

Az összefüggésből látható, hogy a csillag hőmérséklete

\begin{matrix} 4, 8 \cdot 10^{16} s \approx 1, 5 milliárd év \end{matrix}

alatt csökken a felére.

Kárpáti Gábor (Kaposvár, Táncsics M. Gimn., IV. o. t.)