Kezdőlap


Feladat:	1338. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Harsányi Gábor , Kárpáti Tibor , Lájer Konrád , Molnár László , Virosztek Attila
Füzet:	1976/szeptember, 39 - 40. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gördülés vízszintes felületen, Harmonikus rezgőmozgás, Tapadó súrlódás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/január: 1338. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Vizsgáljuk meg, hogy mi a feltétele, hogy egy olyan pillanatban, amikor a deszka gyorsulása $a_{1}$ , egyik test se csússzék meg. A tégla mozgásegyenletei (l. az 1. ábrát):

1. ábra

\begin{matrix} M a_{1} = S_{1} - S_{2}, & (1) \\ 0 = M g + N_{2} - N_{1} . & (2) \end{matrix}

A henger haladó és forgó mozgást is végez, a mozgására vonatkozó egyenletek:

\begin{matrix} m a_{2} = S_{2}, & (3) \\ 0 = m g - N_{2}, & (4) \\ Θ β = S_{2} r, & (5) \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} Θ = (1 / 2) m r^{2} . \end{matrix}

A henger és a tégla egymással érintkező pontjainak gyorsulása megegyezik, tehát

\begin{matrix} a_{1} = a_{2} + β r . \end{matrix}

(6)

Az egyenletrendszert megoldva meghatározható a két súrlódási erő:

\begin{matrix} S_{1} = (M + m / 3) a_{1} és S_{2} = (m / 3) a_{1} . \end{matrix}

A testek csak akkor nem csúsznak meg, ha a maximális

\begin{matrix} a_{1}^{max} = A ω^{2} = A (4 π^{2} / T^{2}) \end{matrix}

gyorsulás esetén is fennáll az

\begin{matrix} S_{1} \leq μ_{1} (M + m) g \end{matrix}

és az

\begin{matrix} S_{2} \leq μ_{2} m g \end{matrix}

egyenlőtlenség.

S_{1}

S_{2}

, és

a_{1}^{max}

értékét behelyettesítve

\begin{matrix} μ_{1} \geq A \cdot \frac{4 π^{2}}{T^{2} g} \frac{M + (m / 3)}{M + m} = 0, 36, \\ μ_{2} \geq A \cdot \frac{4 π^{2}}{T^{2}} \frac{1}{3 g} = 0, 13. \end{matrix}

Az (1)‐(6) egyenletrendszerből a henger és a tégla relatív gyorsulása

r β = (2 / 3) a_{1}

. Harmonikus rezgőmozgás esetén a kitérés arányos a gyorsulással, így a henger a téglához viszonyítva

(2 / 3) A

amplitúdójú rezgőmozgást végez. A henger akkor nem esik le, ha a tégla hossza legalább

(4 / 3) A = 13, 3 cm

.
A tégla harmonikus rezgőmozgást végez, tehát a rá ható erők eredője

\begin{matrix} F = - M A (4 π^{2} / T^{2}) sin (2 π / T) t = - 11, 8 N \cdot sin (6, 28 s^{- 1} \cdot t) . \end{matrix}

Az eredő erő támadáspontja a tégla tömegközéppontjában van, mivel a tégla csak haladó mozgást végez. Az

F

erő

S_{1}

S_{2}

N_{1}

N_{2}

, és

M g

eredője.

S_{1}

, és

S_{2}

forgatónyomatéka a tömegközéppontra nem

0

, ezt az egyenlíti ki, hogy

N_{1}

, és

N_{2}

hatásvonala nem esik egybe

M g

hatásvonalával.

Virosztek Attila (Szolnok, Verseghy F. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Vizsgáljuk meg, hogy előfordulhat-e, hogy a tégla felborul. A téglára haló erőknek a súlypontra vonatkozó forgatónyomatéka (2. ábra):

2. ábra

\begin{matrix} S_{1} (a / 2) - N_{1} [(l / 2) - x] + S_{2} (a / 2) + N_{2} [(l / 2) - y] = 0. \end{matrix}

A borulás szempontjából legkedvezőtlenebb esetben

y = 0

. Ennek feltételezésével

\begin{matrix} x = \frac{l}{2} - (\frac{N_{2}}{N_{1}} \cdot \frac{l}{2} + \frac{S_{1} + S_{2}}{N_{1}} \cdot \frac{a}{2}) . \end{matrix}

A tégla akkor borul fel, ha

x < 0

. Ez a feltétel még a legnagyobb gyorsulás és súrlódási erő értékeket behelyettesítve sem teljesül, a tégla így nem borulhat fel.

Harsányi Gábor (Budapest, Radnóti M. Gyak. Gimn., IV. o. t.)