Kezdőlap


Feladat:	1331. fizika feladat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Faragó Béla , Karányi József , Kotek Gábor
Füzet:	1976/május, 233 - 235. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Sikkondenzátor, Permittivitás (dielektromos állandó), Dielektrikumra ható erő, forgatónyomaték, Elektromos mező energiája, energiasűrűsége, Hidrosztatikai nyomás, Tömegközéppont helye, Pontrendszer helyzeti energiája, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/december: 1331. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az olaj emelkedése során a kondenzátor kapacitása növekszik, és mivel feszültségforrásra van kapcsolva, töltés áramlik rá. $Δ x$ szintemelkedésnél, miközben a kapacitás $C_{2} - C_{1} = Δ C$ -vel növekszik, $Q_{2} - Q_{1} = Δ Q = U Δ C$ a töltésváltozás.
A kondenzátor energiája

\begin{matrix} Δ W_{kond} = (1 / 2) C_{2} U^{2} - (1 / 2) C_{1} U^{2} = (1 / 2) U^{2} Δ C \end{matrix}

(1)

értékkel növekszik, míg a telep

\begin{matrix} Δ L_{telep} = \int_{Q_{1}}^{Q_{2}} U d Q = U (Q_{2} - Q_{1}) = U Δ Q = U^{2} Δ C \end{matrix}

(2)

munkát végez. A telep energiaszolgáltatásának tehát csak a fele növeli a kondenzátor energiáját, a másik fele mechanikai munkává alakul (az olaj mozgási és potenciális energiájának növelésével). Ez lehetővé teszi a kondenzátor belsejében levő dielektrikumra ható erő meghatározását.
Az olajszint

Δ x

elmozdulása során a telep energiaszolgáltatása:

\begin{matrix} Δ L_{telep} = Δ W_{kond} + F Δ x, \end{matrix}

ahol

F

a dielektrikumra függőlegesen felfelé ható erő, azaz (1) és (2) alapján

\begin{matrix} (1 / 2) U^{2} Δ C = F Δ x, \\ F = (1 / 2) U^{2} Δ C / Δ x . \end{matrix}

Mivel

{lim}_{}^{}_{Δ x \to 0}^{}

(Δ C / Δ x) = \frac{d C}{d x}

, azért végül a következő pontos formulát kapjuk:

\begin{matrix} F = (1 / 2) U^{2} d C / d x . \end{matrix}

(3)

A hátralevő feladat a kapacitás

x

függésének meghatározása, ennek a függvénynek a deriváltját kell majd kiszámítanunk. A dielektrikumot részben tartalmazó kondenzátor eredő kapacitása két olyan párhuzamosan kapcsolt kondenzátor kapacitásának összegével egyenlő, melyek közül az egyik tartalmazza a transzformátorolajat, a másik nem.
Ha a kondenzátor lemezeinek szélessége

a

, magassága

2 b

, távolságuk

d

, és az emelkedést a külső olajszinttől mérjük, az eredő kapacitás

\begin{matrix} C (x) = \frac{ε_{0} a (b - x)}{d} + \frac{ε_{0} ε_{r} a (b + x)}{d} = \frac{a b}{d} ε_{0} (ε_{r} + 1) + \frac{a x}{d} ε_{0} (ε_{r} - 1) . \end{matrix}

(4)

(A levegő dielektromos állandója

ε_{lev} \approx 1.

) (3) alapján a dielektrikumra ható erő

\begin{matrix} F = (1 / 2) U^{2} d C / d x = (1 / 2) U^{2} (a / d) ε_{0} (ε_{r} - 1) . \end{matrix}

(5)

Az erő független attól, hogy a dielektrikum mennyire hatol be a lemezek közé! Az olaj mozgásának csillapodása után kialakuló egyensúlynál a felemelkedett olaj súlya az

F

erővel egyenlő:

\begin{matrix} F = m g, \\ (1 / 2) U^{2} (a / d) ε_{0} (ε_{r} - 1) = ϱ a d h g, & (6) \end{matrix}

ahol

h

az emelkedési magasság,

ϱ

pedig az olaj sűrűsége.
Végeredményben:

\begin{matrix} h = \frac{U^{2} ε_{0} (ε_{r} - 1)}{2 ϱ g d^{2}} = 0,6 mm. \end{matrix}

(7)

Kotek Gábor (Bp., Apáczai Csere J. Gyak. Gimn., IV. o. t.)

II. megoldás. Energetikailag vizsgálva a kondenzátor-olaj rendszert, nem szabad megfeledkezni arról, hogy míg az olajszint emelkedésével a folyadék potenciális energiája és a kondenzátor elektromos energiája egyaránt növekszik, addig a telep munkavégzése a rendszer szempontjából energianyereséget jelent.
Jelöljük a telep bekapcsolása előtti összenergiát

W_{0}

lal. A bekapcsolás után a rendszer olyan helyzetet foglal el, ahol energiája minimális.

x

olajszint emelkedésnél a teljes energia:

\begin{matrix} W (x) = W_{0} - L + W_{kond} + W_{olaj}, \end{matrix}

(8)

ahol

\begin{matrix} L = \int_{0}^{Q} U d Q = U Q = U^{2} C \end{matrix}

a telep állandó feszültségen végzett munkája,

\begin{matrix} W_{kond} = (1 / 2) C U^{2} \end{matrix}

a kondenzátor elektromos energiája,

\begin{matrix} W_{olaj} = m g (x / 2) = (ϱ a d x) g (x / 2) \end{matrix}

pedig a megemelkedett olaj potenciális energianövekedése. A kapacitás

x

függésének ismeretében

[(4) egyenlet]

a teljes energia:

\begin{matrix} W (x) = W_{0} - (1 / 2) [(a b / d) ε_{0} (ε_{r} + 1) + (a x / d) ε_{0} (ε_{r} - 1)] U^{2} + ϱ a d g (x^{2} / 2) . \end{matrix}

(9)

Belátható, hogy ennek a másodfokú függvénynek az

\begin{matrix} x = \frac{U^{2} ε_{0} (ε_{r} - 1)}{2 ϱ g d^{2}} = 0,6 mm \end{matrix}

(10)

helyen van minimuma. Minden más

x

esetén

W (x)

határozottan nagyobb, mint a minimális érték, ezért az egyensúlyi helyzet stabil. Az energiakülönbség az olaj mozgási energiájává, majd a csillapodás során hőenergiává alakul.

Faragd Béla (Csongrád, Batsányi J. Gimn., IV. o. t.)