Kezdőlap


Feladat:	1329. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tél Tamás
Füzet:	1976/május, 230 - 232. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	RobertMayer-egyenlet, Egyéb (gázok fajhőjével kapcsolatos), Gázok egyéb állapotváltozása, I. főtétel, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/december: 1329. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feladatban szereplő ideális gáz molszámát az adatok már meghatározzák. Az állapotegyenletből:

\begin{matrix} m / M = n = p_{1} V_{1} / R T_{1} . \end{matrix}

A felvett hő megállapításához az I. főtételt használjuk:

\begin{matrix} U_{B} - U_{A} = Q + W_{külső}, \end{matrix}

ahol

W_{külső}

a külső erők munkája. A gáz által végzett munkát az

A B

görbe alatti terület adja meg. Ezek szerint:

\begin{matrix} W_{külső} = \frac{p_{1} + p_{2}}{2} (V_{2} - V_{1}) . \end{matrix}

A továbbiakban célszerű a cal/mol fok egységekben mért fajhőt, az ún. molhőt használnunk. (Ennek számértéke az egy mol anyag által egységnyi hőmérsékletnövekedés következtében felvett hőt adja meg, jele C.) Képletben

\begin{matrix} Δ Q = C \cdot (m / M) \cdot Δ T, \end{matrix}

(1)

ahol

Δ Q

a kicsiny

Δ T

-hez tartozó hőfelvétel. Általános esetben

C

függhet a hőmérséklettől. Az ideális gáz rögzített térfogathoz tartozó állapotváltozása esetén azonban tudjuk, hogy

C =

állandó

= C_{v}

. Az I. főtétel szerint ilyenkor

Δ Q = Δ U = C_{v} (m / M) Δ T

. A belső energia állapotjelző, ezért minden folyamatra igaz, hogy

\begin{matrix} U_{B} - U_{a} = C_{v} (m / M) (T_{B} - T_{A}) . \end{matrix}

Az állapotegyenletet is fölhasználva

\begin{matrix} Δ U = (C_{v} / R) (p_{2} V_{2} - p_{1} V_{1}) . \end{matrix}

A folyamat során felvett teljes hő tehát

\begin{matrix} Q = Δ U - W_{külső} = (C_{v} / R) (p_{2} V_{2} - p_{1} V_{1}) + (1 / 2) (p_{1} + p_{2}) (V_{2} - V_{1}) . \end{matrix}

A molhő kiszámításakor nem járhatunk el úgy, hogy a fenti hőt osztjuk a

(T_{2} - T_{1})

hőmérsékletkülönbséggel, hiszen semmi sem biztosítja azt, hogy a molhő állandó legyen.

A T

hőmérsékletű állapothoz tartozó molhőt úgy kell meghatároznunk, hogy megvizsgáljuk, kis

Δ T

hőmérsékletváltozás hatására az adott

p (V)

egyenletű állapotváltozás során mekkora a felvett

Δ Q

hő, s ezek ismeretében az (1) egyenlet szerint

\begin{matrix} C (T) = (M / m) (Δ Q / Δ T) . \end{matrix}

Az első főtétel alapján kifejezzük a kis

Δ Q

mennyiséget:

\begin{matrix} Δ Q = C_{v} (m / M) Δ T + p Δ V . \end{matrix}

Ezt behelyettesítve, a következő általános összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} C (T) = C_{v} + \frac{M}{m} \cdot p (T) \frac{Δ V (T)}{Δ T} . \end{matrix}

(2)

Az általunk vizsgált konkrét folyamat

p (V)

lineáris függvény:

\begin{matrix} p (V) = p_{1} + k (V - V_{1}), ahol k = \frac{p_{2} - p_{1}}{V_{2} - V_{1}} . \end{matrix}

(3)

Ha ezt behelyettesítjük az állapotegyenletbe, azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} [p_{1} + k (V - V_{1})] V = (m / M) R T . \end{matrix}

V

-t kifejezve meghatározzuk a térfogat hőmérséklettől való függését:

\begin{matrix} V (T) = - a + \sqrt[]{a + b T}, \end{matrix}

(4)

ahol

\begin{matrix} a = \frac{p_{1}}{2 k} - \frac{V_{1}}{2}; b = \frac{m R}{M k} . \end{matrix}

Δ V | Δ T

-t kell még meghatároznunk:

\begin{matrix} Δ V = \sqrt[]{a + b (T + Δ T)} - \sqrt[]{a + b T} = \sqrt[]{(a + b T) (1 + \frac{b Δ T}{a + b T}}) - \sqrt[]{a + b T} . \end{matrix}

Δ T

nagyon kicsi, ezért alkalmazhatjuk a

\begin{matrix} \sqrt[]{1 + x} \approx 1 + (x / 2), x ≪ l \end{matrix}

összefüggést, így

\begin{matrix} Δ V = \sqrt[]{a + b T} + \sqrt[]{a + b T} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{b Δ T}{a + b T} - \sqrt[]{a + b T} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b Δ T}{\sqrt[]{a + b T}} . \end{matrix}

\sqrt[]{a + b T}

-t kifejezzük (4)-ből, és ezzel

\begin{matrix} \frac{Δ V}{Δ T} = \frac{1}{2} \frac{(m / M) (R / k)}{V + (p_{1} / 2 k) - (V_{1} / 2)} = \frac{1}{2} \frac{m}{M} \frac{R}{k V + (1 / 2) (p_{1} - k V_{1})} . \end{matrix}

p

-t behelyettesítve,

C (T)

-re a következő összefüggést kapjuk:

\begin{matrix} C (T) = C_{v} + \frac{k V (T) + p_{1} - k V_{1}}{k V (T) + (1 / 2) (p_{1} - k V_{1})} \cdot \frac{1}{2} R . \end{matrix}

C (T)

tehát nem állandó, hiszen

V

a (4) egyenlet szerint függ a hőmérséklettől.
Abban a speciális esetben, ha a

p (V)

egyenes átmegy az origón, tehát ha

p (0) = 0

\begin{matrix} p_{1} - k V_{1} = 0, \end{matrix}

s ilyenkor

\begin{matrix} C = C_{v} + (1 / 2) R \end{matrix}

a hőmérséklettől függetlenül.

Tél Tamás

Megjegyzések. 1. Az általánosan érvényes (2) egyenletből könnyen megkapható a

C_{p} - C_{v} = R

összefüggés is. Izobár változásokra ugyanis

p Δ V = (m / M) R Δ T

, s ezt behelyettesítve

C_{p} = C_{v} + R

.
2. A megoldások között több nagyon alapvető hiba is előfordult. Az egyik a hőmérséklet és a hő fogalmának összekeverése! A másik gyakori hiba az volt, hogy a megoldók egy része az

A B

állapotváltozás helyett egy izobár és egy izochor folyamat ősszegét vizsgálta. A belső energia állapotjelző, ezért a belső energia szempontjából a két változás egyenértékű. A hő (és a munka) azonban nem állapotjelző, különböző

p (V)

függvényekkel leírható állapotváltozásokra egészen más értékeket vesz föl a kezdő és végállapotot összekötő pályától függően. Az ezeket a hibákat elkövető versenyzők nem kaptak pontot.