Kezdőlap


Feladat:	1323. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Tornóci László
Füzet:	1976/május, 226 - 228. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kötelek (láncok) dinamikája, Munkatétel, energiamegmaradás pontrendszerekre, Pontrendszer helyzeti energiája, Tehetetlenségi nyomaték, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/november: 1323. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben az esetben is használható az 1975. évi tanulmányi verseny II. fordulójának 2. feladatára adott megoldás gondolatmenete (K. M. L. 51 (1975) 85).
Tekintsük változónak a kötél végének a kezdettől megtett $x$ útját. Az eredetileg lelógó darabok hossza (1. ábra):

1. ábra

\begin{matrix} \frac{L - π r}{2} . \end{matrix}

A kötél az

A

pontban akkor válik el a hengertől, ha az

A

pont előtt levő infinitezimálisan kicsiny darabjára ható normális irányú erő egyenlővé válik a körpályán haladáshoz szükséges centripetális erővel:

\begin{matrix} \frac{Δ m v^{2}}{r} = F_{n} . \end{matrix}

(1)

Egy

Δ α

középponti szöghöz tartozó kötéldarab tömege

σ \cdot Δ α \cdot r

(

σ

az egységnyi hosszú kötél tömege), és a rá ható erő (2. ábra):

2 ábra

\begin{matrix} F_{n} = 2 F_{t} sin Δ α / 2 \approx F_{t} \cdot Δ α . \end{matrix}

Tehát az (1) feltételből a következőt kapjuk:

\begin{matrix} σ v^{2} = F_{t} . \end{matrix}

(2)

F_{t}

az az erő, amely a lelógó

σ (\frac{L - π r}{2} - x)

tömegű kötéldarabot a nehézségi erő ellenében fölfelé gyorsítja

a

gyorsulással:

\begin{matrix} F_{t} - σ (\frac{L - π r}{2} - x) g = σ (\frac{L - π r}{2} - x) a; \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} F_{t} = σ (\frac{L - π r}{2} - x) (g + a) . \end{matrix}

(3)

A kötél sebessége és gyorsulása a megtett út függvényében a következő módon kapható meg.
Az energiamegmaradás alapján

\begin{matrix} σ x g x = (1 / 2) L σ v^{2} + (1 / 2) Θ ω^{2}, \end{matrix}

ahol

Θ = (1 / 2) m r^{2}

a henger tehetetlenségi nyomatéka,

ω

aszögsebessége. Mivel teljes a tapadás,

ω = v / r .

Így

\begin{matrix} v = {(\frac{2 σ g}{σ L + m / 2})}^{1 / 2} x; & (4) \\ a = \frac{d v}{d t} = {(\frac{2 σ g}{σ L + (m / 2)})}^{1 / 2} v = \frac{2 σ g}{σ L + (m / 2)} x . & (5) \end{matrix}

(2), (3), (4), és (5) összevetéséből kapjuk:

\begin{matrix} \frac{2 σ^{2} g}{σ L + (m / 2)} x^{2} = σ (\frac{L - π r}{2} - x) (g + \frac{2 σ g \cdot x}{σ L + (m / 2)}) . \end{matrix}

(6)

Ez az egyenlet

x

-re megoldható, és pozitívgyöke adja a mozgás megkezdésétől a kötél elválásáig megtett utat:

\begin{matrix} x = - \frac{(m / 2) + π r σ}{8 σ} + \sqrt[]{{(\frac{(m / 2) + π r σ}{8 σ})}^{2} + \frac{(L - π r) (σ L + (m / 2))}{8 σ}} . \end{matrix}

Tornóci László (Tata, Eötvös J. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzések. 1. A (6) egyenlet negatív megoldása azt az

x

-et adja meg, amelynél a

B

pontban válik el a kötél (ha ellenkező irányban mozog a kötél, az

A

és

B

pont szerepe felcserélődik). Ez az

x

nagyobb (abszolút értékben), mint a feladat megoldásában szereplö. Ennek oka, hogy adott helyzetben a

B

pontban nagyobb az

F_{t}

, mint az

A

-ban (a kettő különbségének forgatónyomatéka gyorsítja a hengert a tengelye körül), míg a

v^{2} / r

ugyanaz mindkét pontban.
2. A második ábrán

F_{t}

-vel jelölt erők nem pontosan egyformák; eredőjük tangenciális komponense nem 0, ez gyorsítja a kötéldarabot és ez ad járulékot a henger gyorsításához is. A két erő különbsége

Δ α

nagyságrendű, így

F_{n}

-ben

{(Δ α)}^{2}

nagyságrendű járulékot ad, (2)

Δ α

nagyságrendű taggal módosulna, amely elhagyható.