Kezdőlap


Feladat:	1319. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kirch Zoltán
Füzet:	1976/április, 185 - 186. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletes körmozgás, Hajítások, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/november: 1319. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $m$ tömegű golyó kezdetben a mélyedésben van, és a hengerrel együtt mozog. Az $r$ sugarú körpályán tartáshoz szükséges erő a súlyerő és a henger által a golyóra gyakorolt nyomóerő eredője. A golyó akkor hagyja el a mélyedést, amikor a nyomóerő sugárirányú komponense $0$ -vá válik, ekkor a súlyerő komponense adja a centripetális erőt.

Az ábra szerinti jelölésekkel ebben a pillanatban:

\begin{matrix} m v^{2} / r = m g sin α, \end{matrix}

(1)

ahol

v

a kerületi sebesség. A golyócska ezután úgy halad, mintha a pillanatnyi érintő irányában

v

sebességgel elhajították volna. A parabolapályán

t

ideig haladva, beleesik a tengely mentén elhelyezett vályúba. Ez akkor történik meg, ha

t

idő alatt vízszintes irányban

r cos α

, függőlegesen lefelé pedig

r sin α

nagyságú elmozdulást végez. A mélyedés elhagyásakor sebességének vízszintes komponense

v sin α

, függőleges komponense pedig

v cos α

volt, így

\begin{matrix} r cos α = v \cdot t \cdot sin α, \end{matrix}

(2)

\begin{matrix} - r sin α = v \cdot t \cdot cos α - (g / 2) t^{2} . \end{matrix}

(3)

(2)-ből kifejezzük

t

-t, beírjuk (3)-ba, ezután (1) felhasználásával

v

-t is kiküszöbölve kapjuk:

\begin{matrix} - r sin α = \frac{r {cos}^{2} α}{sin α} - \frac{r}{2} \frac{cos^{2} α}{sin^{3} α} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

{cos}^{2} α = 1 - {sin}^{2} α

sin α

-ra megoldva az egyenletet, a fizikailag értelmes gyök

\begin{matrix} sin α = \sqrt[]{1 / 3} . \end{matrix}

Az így kapott értéket (1)-be írva, megkapjuk a kerületi sebességet:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{r \cdot g}{\sqrt[]{3}}} . \end{matrix}

Tudjuk, hogy a kerületi sebesség a kör kerületének és a fordulatszámnak a szorzata. Így meghatározhatjuk a fordulatszámot:

\begin{matrix} n = \frac{1}{2 π} \sqrt[]{\frac{g}{\sqrt[]{3} r}} . \end{matrix}

A jelen esetben a kör sugara

1

m, így numerikusan:

\begin{matrix} n = 0, 379 1/s . \end{matrix}

Kirch Zoltán (Bonyhád, Petőfi S. Gimn., III. o. t.)