Kezdőlap


Feladat:	1318. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fried Miklós
Füzet:	1976/április, 183 - 184. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Munkatétel, Körmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete), Nyomóerő, kötélerő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/november: 1318. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Határozzuk meg először az $m$ tömegű gyöngy sebességét és gyorsulását a falakhoz rögzített $(X, Y)$ koordináta-rendszerhez viszonyítva. Legyenek $(x; y)$ a pálca középpontjának koordinátái, míg a $B$ pontéi $(x_{B}; 0)$ .

Az ábra alapján

\begin{matrix} x_{B} = 2 l \cdot sin α, \end{matrix}

(1)

\begin{matrix} x_{B} = 2 x . \end{matrix}

(2)

A gyöngy

l

sugarú negyedköríven mozog:

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = l^{2}, \end{matrix}

(3)

ahol az

x

y

koordináták az idő függvényei. A sebesség komponensek kiszámításához differenciáljuk az idő szerint a (3) egyenlet mindkét oldalát. Az összetett függvények differenciálási szabályát alkalmazva

\begin{matrix} 2 x \cdot v_{x} + 2 y \cdot v_{y} = 0, \end{matrix}

(4)

ahol

v_{x}

és

v_{y}

m

tömeg sebességének

X

, ill.

Y

irányú komponense

(v_{x} = d x / d t, v_{y} = d y / d t)

. Járjunk el hasonlóan a (2) egyenlettel is, így kapjuk:

\begin{matrix} v = 2 v_{x} . \end{matrix}

(5)

(4) és (5) egybevetésével a sebességkomponensek

\begin{matrix} v_{x} = v / 2, \end{matrix}

(6a )

\begin{matrix} v_{y} = - (v / 2) \cdot tg α . \end{matrix}

(6b)

Az (1) egyenlet mindkét oldalának idő szerinti differenciálásával nyerjük:

\begin{matrix} v = 2 l cos α \cdot (d α / d t) . \end{matrix}

(7)

Deriválva a (6a) és a (6b) egyenleteket, ezt az összefüggést használjuk fel a gyorsuláskomponensek kiszámítására:

\begin{matrix} a_{x} = 0, \end{matrix}

(8a)

\begin{matrix} a_{y} = \frac{- v}{2 cos^{2} α} \cdot \frac{v}{2 l cos α} = - \frac{v^{2}}{4 l cos^{2} α} . \end{matrix}

(8b)

Láthatjuk, hogy a gyöngy csak függőleges irányban gyorsul, így a pálca részéről rá ható

K

kényszererő is függőleges irányú. A dinamika alaptörvényét az

m

tömegű testre felírva:

\begin{matrix} K - m g = m a_{y}, \\ K = m (g - \frac{v^{2}}{4 l {cos}^{3} α}) . & (9) \end{matrix}

A gyöngy ekkora erővel hat függőlegesen lefelé a pálcára. Abban a pillanatban, amikor

α = 45^{\circ}

K = m (g - \frac{v^{2}}{\sqrt[]{2} l})

Fried Miklós (Budapest, Fazekas M. Gyak. Gimn., III. o. t.) dolgozata alapján