Kezdőlap


Feladat:	1314. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Karanyi József
Füzet:	1976/április, 180 - 181. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Csúszásmentes (tiszta) gördülés, Steiner-tétel, Egyéb gördülés (Gördülés), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/október: 1314. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az $F$ erő az álló korong-rendszert $t$ idő alatt $ω$ szögsebességre gyorsítja, akkor a szöggyorsulás $β = ω / t$ volt. Az $ω$ szögsebességet a munkatétellel fogjuk meghatározni.
Az F erő által végzett munka $W = F \cdot s = F \cdot R \cdot ω t$ . Ez a munkavégzés egyenlő a rendszer kinetikus energiájával. A nagy korong forgási energiája $E_{1} = (1 / 2)$ $Θ ω^{2}$ . A kis korong összetett mozgást végez: tömegközéppontja $v = ω d$ sebességgel kering a nagy korong forgástengelye körül, a kis korong pedig saját tengelye körül $ω_{1}$ szögsebességgel végez forgó mozgást. Ilyen esetben a mozgási energia egyszerűen az $E_{2} = (1 / 2) Θ_{1} ω_{1}^{2}$ forgási energia és a tömegközéppont haladó mozgásából származó $E_{3} = (1 / 2) m v^{2} = (1 / 2) m d^{2} ω^{2}$ energia összeadásából számítható. A teljes mozgási energia:

\begin{matrix} E = E_{1} + E_{2} + E_{3} = (1 / 2) Θ ω^{2} + (1 / 2) m d^{2} ω^{2} + (1 / 2) Θ_{1} ω_{1}^{2} . \end{matrix}

Az ismeretlen

ω_{1}

szögsebességet abból a kényszerfeltételből határozhatjuk meg, hogy a kis korong tapadva gördül. Mivel a középpontja

v = d ω

sebességgel mozog, a korong pereme akkor nem fog megcsúszni, ha a saját forgásból származó sebesség ezzel ellentétes irányú, de egyenlő nagyságú,

ω_{1} \cdot r = v = d ω

. Az

ω_{1} = ω (r / d)

értéket behelyettesítve kapjuk, hogy

\begin{matrix} E = \frac{1}{2} (Θ + {m d}^{3} + Θ_{1} \frac{d^{2}}{r^{2}}) ω^{2} . \end{matrix}

Ezt egyenlővé téve a mozgási energiával és a

β = ω / t

kifejezve kapjuk, hogy

\begin{matrix} β = \frac{F \cdot R}{Θ + m d^{2} + Θ_{1} \cdot d^{2} / r^{2}} . \end{matrix}

A megoldás helyességéről meggyőződhetünk, ha a határeseteket megvizsgáljuk. Ha

r = d

, akkor végeredményben a kis korong nem mozog a nagyhoz képest; ennek megfelelően az eredmény:

\begin{matrix} β = \frac{F R}{Θ + m d^{2} + Θ_{1}}, \end{matrix}

ahol

m d^{2} + Θ_{1}

, a kis korongnak a forgástengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka. Ha

r

kicsi (miközben a kis korong tehetetlenségi nyomatéka az eredeti érték), akkor a kérdezett szöggyorsulás is kicsi lesz, mert a kis korongot nagyon gyorsan kell pörgetni.

Karanyi József (Ajka, Bródy I. Gimn., IV. o. t.)

Megjegyzés. Sok versenyző a hibás

ω_{1} = ω \cdot (d - r) / d

kényszerfeltételt használta. Ekkor nem teljesülne az

r = d

esetben, hogy a nagy korongot egyszer megforgatva, a kis korong is megfordul a tengelye körül.