Kezdőlap


Feladat:	1307. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kókai László , Oszvald Elemér , Samu Péter , Séra Péter
Füzet:	1976/március, 136 - 137. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Erők forgatónyomatéka, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/október: 1307. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A henger az elengedés után olyan $α$ szöggel tér ki eredeti helyzetéből, hogy a rá ható erők forgatónyomatékainak eredője nulla legyen (l. az ábrát):

\begin{matrix} M g \cdot (3 / 4) r sin α = m g (r - (3 / 4) r sin α), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} sin α = \frac{4 m}{3 (M + m)} = 0, 889, \\ α = 62, 7^{\circ} . \end{matrix}

Az elfordulás során olyan hosszú fonál tekeredik le a korongról, amekkora az

α

középponti szöghöz tartozó körív hossza:

\begin{matrix} l = α r = \frac{62, 7^{\circ} \cdot π}{180^{\circ}} \cdot 0, 6 m = 0, 656 m . \end{matrix}

m

tömegű test a korong középpontjához képest

l

távolsággal kerül mélyebbre, azonban az elfordulás során a korong középpontja

\begin{matrix} a = (3 / 4) r (1 - cos α) = 0, 243 m \end{matrix}

távolsággal emelkedik. Így az

m

tömeg

\begin{matrix} h = l - a = 0, 413 m-rel \end{matrix}

kerül mélyebbre.

Séra Péter (Kazincbarcika, Ságvári E. Gimn., II. o. t.)

II. megoldás. A nyugalmi helyzetet annak alapján is meghatározhatjuk, hogy milyen

α

szögkitérés mellett lesz a rendszer helyzeti energiája minimális. A helyzeti energiát a tengely magasságában tekintve 0-nak, tetszőleges

α

kitérés esetén

\begin{matrix} E_{h} = - M g (3 / 4) r cos α - m g (l_{0} + r α + (3 / 4) r cos α), \end{matrix}

ahol

l_{0}

m

tömegű test súlypontjának és a fonál és a henger érintkezési pontjának távolsága elengedés előtt. Ez a kifejezés akkor minimális, ha

α

szerinti differenciálhányadosa nulla:

\begin{matrix} M g (3 / 4) r sin α - m g r + m g (3 / 4) r sin α = 0, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} sin α = \frac{4 m}{3 (M + m)} . \end{matrix}

A megoldás tovább azonos az I. megoldással.

Kókai László (Csongrád, Batsányi J. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzések. 1. Az

α

szögű stabil nyugalmi helyzeten kívül

180^{\circ} - α

szögkitérés esetén is egyensúlyban van a rendszer, ez a helyzet azonban labilis.
Túlságosan nagy

m

tömeg esetén a korong átfordul és a teljes fonál letekeredik. Ez biztosan bekövetkezik akkor, ha a

m

tömegű test súlyerejének forgatónyomatéka még az

α = 90^{\circ}

-os helyzetben is nagyobb, mint a korong súlyerejének nyomatéka

\begin{matrix} m g (r / 4) > M g (3 r / 4), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} m > 3 M . \end{matrix}

Ekkor a

sin α = \frac{4 m}{3 (M + m)}

összefüggés

sin α

-ra 1-nél nagyobb értéket ad.

Samu Péter (Csongrád, Batsányi J. Gimn., II. o. t.)

2. Bár a feladatban "súrlódásmentes elfordulás'' szerepel, mégis valamennyi megoldó feltételezte, hogy a rendszer lengéseit valami erősen csillapítja, és így nem történhet meg, hogy a korong "lendületből'' átforduljon. Érdemes megvizsgálni, hogy milyen feltételek mellett történhet ilyen átfordulás.